Tích vô hướng của 2 Vectơ, ứng dụng tính độ dài đoạn thẳng, chứng minh hai đường thẳng vuông góc? Toán 10 bài 6 c4cd1

20:24:2111/11/2023

Lý thuyết bài 5, chương 4, SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 về Tích vô hướng của 2 Vectơ, ứng dụng tính độ dài đoạn thẳng, chứng minh hai đường thẳng vuông góc...

Tích vô hướng của 2 Vectơ, ứng dụng tính độ dài đoạn thẳng, chứng minh hai đường thẳng vuông góc như nào? bài viết này sẽ cho các bạn lời giải đáp.

1. Định nghĩa Tích vô hướng của hai vectơ

1.1 Tích vô hướng của hai vectơ có cùng điểm đầu

• Góc giữa hai vecto $\small \overrightarrow{OA},\: \overrightarrow{OB}$ là góc giữa hai tia OA, OB và được kí hiệu là $\small ( \overrightarrow{OA},\: \overrightarrow{OB})$

• Tích vô hướng của hai vectơ $\small \overrightarrow{OA}$ và $\small \overrightarrow{OB}$ là một số thực, kí hiệu là $\small \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}$ , được xác định bởi công thức:

$\small \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=|\overrightarrow{OA}|.|\overrightarrow{OB}|.cos(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})$

* Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại A có $\small \widehat{B}=30^0$ , AB = 3 cm. Tính $\small \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC};\: \: \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}$

* Lời giải:

Ta có hình vẽ sau: Tích vô hướng của 2 vecto

Ta có tam giác ABC vuông ở A nên $\small \widehat{B}+\widehat{C}=90^0$

$\small \Rightarrow \widehat{C}=90^0-\widehat{B}=90^0-30^0=60^0$

Lại có: tanB= AC/AB ⇒ AC = AB . tanB = 3.tan30° = $\small \sqrt{3}$

Ta có: $\small \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=|\overrightarrow{BA}|.|\overrightarrow{BC}|.cos(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})$ $\small =3.2\sqrt{3}.cos\widehat{ABC}=6\sqrt{3}.cos30^0=9$

$\small \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=|\overrightarrow{CA}|.|\overrightarrow{CB}|.cos(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})$ $\small =\sqrt{3}.2\sqrt{3}.cos\widehat{ACB}=6.cos60^0=3$

Vậy $\small \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=9;\: \: \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=3$

1.2 Tích vô hướng của hai vectơ tùy ý

• Định nghĩa: Cho hai vecto $\small \overrightarrow{a},\: \: \overrightarrow{b}$ khác $\small \overrightarrow{0}$ . Lấy một điểm O và vẽ vecto $\small \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$ , $\small \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$ .

Tích vô hướng của hai vectơ tùy ý

• Góc giữa hai vecto $\small \overrightarrow{a}$ , $\small \overrightarrow{b}$ , kí hiệu $\small (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$ , là góc giữa hai vecto $\small \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}$

• Tích vô hướng của hai vecto $\small \overrightarrow{a}$ và $\small \overrightarrow{b}$ , kí hiệu $\small \overrightarrow{a}$ . $\small \overrightarrow{b}$ là tích vô hướng của hai vecto $\small \overrightarrow{OA}$ và $\small \overrightarrow{OB}$ . Như vậy, tích vô hướng của hai vecto $\small \overrightarrow{a}$ và $\small \overrightarrow{b}$ là một số thực được xác định bởi công thức:

$\small \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|cos(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b})$

* Quy ước: Tích vô hướng của một vecto bất kì với vecto là số 0.

* Chú ý:

• $\small (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=(\overrightarrow{b},\overrightarrow{a})$

+) Nếu $\small (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$ = 90° thì ta nói hai vecto $\small \overrightarrow{a}$ , $\small \overrightarrow{b}$ vuông góc với nhau, kí hiệu $\small \overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$ hoặc $\small \overrightarrow{b}\perp \overrightarrow{a}$ . $\vec{a}$ Khi đó $\small \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|cos90^0=0$

• Tích vô hướng của hai vecto cùng hướng bằng tích hai độ dài của chúng.

• Tích vô hướng của hai vecto ngược hướng bằng số đối của tích hai độ dài của chúng.

2. Tính chất Tích vô hướng của hai vectơ

Với hai vecto bất kì $\small \overrightarrow{a},\: \overrightarrow{b}$ và hai số thực k tùy ý, ta có:

• $\small \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}= \overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}$

• $\small \overrightarrow{a}.(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}. \overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}$

• (k $\small \overrightarrow{a}$ ). $\small \overrightarrow{b}$ = $\small \overrightarrow{a}$ (k $\small \overrightarrow{b}$ );

• $\small \overrightarrow{a}^2\geq 0, \overrightarrow{a}^2=0\Leftrightarrow \overrightarrow{a}=0$ = $\small \overrightarrow{a}$ ; (–1) $\small \overrightarrow{a}$ = – $\small \overrightarrow{a}$ .

Trong đó, kí hiệu $\small \overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}^2$ và biểu thức này được gọi là bình phương vô hướng của vecto .

3. Một số ứng dụng

3.1. Tính độ dài của đoạn thẳng

* Nhận xét:

Với hai điểm A, B phân biệt, ta có: $\small \overrightarrow{AB}^2=\left | \overrightarrow{AB} \right |^2$

Do đó độ dài đoạn thẳng AB được tính như sau: $\small AB=\sqrt{\overrightarrow{AB}^2}$

3.2. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

* Nhận xét:

+ Cho hai vecto bất kì $\small \overrightarrow{a}$ và $\small \overrightarrow{b}$ $\vec{b}$ khác vecto $\small \overrightarrow{0}$ . Ta có: $\small \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$

Hai đường thẳng AB và CD vuông góc với nhau khi và chỉ khi $\small \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=0$

+ Hai đường thẳng a và b vuông góc khi và chỉ khi $\small \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$ , trong đó $\small \overrightarrow{u}\neq 0,\: \overrightarrow{v}\neq 0$ , giá của vecto $\small \overrightarrow{u}$ song song hoặc trùng với đường thẳng a và giá của vecto $\small \overrightarrow{v}$ song song hoặc trùng với đường thẳng b.

Trên đây KhoiA.Vn đã trình bày nội dung lý thuyết Tích vô hướng của 2 Vectơ, ứng dụng tính độ dài đoạn thẳng, chứng minh hai đường thẳng vuông góc? Toán 10 bài 6 SGK Cánh diều tập 1 chương 4 chi tiết, đầy đủ nhất. Nếu có câu hỏi hay góp ý các em hãy để lại bình luận dưới bài viết nhé, chúc các em thành công.