Phương trình quy về phương trình bậc hai và Cách giải - Toán 9 bài 7 chương 4 tập 2

Thí dụ như một số dạng phương trình dưới đây chúng ta có thể quy về phương trình bậc hai để giải như: Phương trình trùng phương, Phương trình chứa ẩn ở mẫu, Phương trình tích,...

• Bài tập giải phương trình quy về phương trình bậc hai

Cách giải phương trình trùng phương, phương trình chứa ẩn ở mẫu và phương trình tích như nào? chúng ta sẽ có câu trả lời trong bài viết này.

1. Phương trình trùng phương và cách giải

• Định nghĩa: Phương trình trùng phương là phương trình có dạng:

 ax⁴ + bx² + c = 0, (a≠0)

• Cách giải phương trình trùng phương:

Để giải phương trình trùng phương x⁴ + bx² + c = 0, (a≠0) ta thực hiện các bước sau:

+ Bước 1: Đặt x² = t, t≥0.

+ Bước 2: Giải phương trình at² + bt + c = 0.

+ Bước 3: Với  mỗi giá trị của t (thỏa t≥0), lại giải phương trình x² = t.

* Ví dụ: Giải các phương trình trùng phương:

a) 4x⁴ + x² + 5 = 0

b) 3x⁴ + 4x² + 1 = 0

> Lời giải:

a) 4x⁴ + x² – 5 = 0;

 Đặt x² = t (t ≥ 0). Phương trình trở thành:  4t² + t - 5 = 0

 Nhận thấy phương trình có dạng a + b + c = 0 nên phương trình có nghiệm: t₁ = 1; t₂ =(-5/4)

 Do điều kiện t ≥ 0 nên chỉ có t = 1 thỏa mãn điều kiện (t = -5/4 < 0 nên loại)

- Với t = 1, ta có: x² = 1 ⇔ x = ±1

- Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm x₁ = 1; x₂ = -1.

b) 3x⁴ + 4x² + 1 = 0

 Đặt x² = t (t ≥ 0). Phương trình trở thành: 3t² + 4t + 1 = 0

 Nhận thấy phương trình có dạng a - b + c = 0 nên phương trình có nghiệm

 t₁ = -1; t₂ = (-1/3)

- Cả 2 nghiệm t₁, t₂ của phương trình đều âm nên không thỏa mãn điều kiện t ≥ 0.

- Kết luận: Phương trình đã cho vô nghiệm.

2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức và cách giải

Để giải Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức ta làm như sau:

+ Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

+ Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức.

+ Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.

+ Bước 4: Trong các giá trị tìm được của ẩn, loại các giá trị không thỏa mãn điều kiện xác định, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định là nghiệm của phương trình đã cho.

* Ví dụ: Giải phương trình (chứa ẩn ở mẫu) sau:

Bằng cách điền vào các chỗ trống (...) và trả lời các câu hỏi.

- Điều kiện: x ≠...

- Khử mẫu và biến đổi, ta được: x² – 3x + 6 =... ⇔ x² – 4x + 3 = 0.

- Nghiệm của phương trình x² – 4x + 3 = 0 là: x₁ =...; x₂ =...

Hỏi x₁ có thỏa mãn điều kiện nói trên không ? Tương tự, đối với x₂ ?

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:...

> Lời giải:

- Điều kiện: x ≠ ±3

- Khử mẫu và biến đổi, ta được: x² – 3x + 6 = x + 3 ⇔ x² – 4x + 3 = 0.

- Nghiệm của phương trình x² – 4x + 3 = 0 là: x₁ = 1; x₂ = 3

 x₁ có thỏa mãn điều kiện nói trên

 x₂ không thỏa mãn điều kiện nói trên

 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = 1.

3. Phương trình tích và cách giải

Để giải phương trình tích ta sử dụng tính chất: A.B = 0 ⇔ A = 0 hoặc B = 0.