Phương trình bậc 2 một ẩn là gì? ví dụ về giải phương trình bậc hai 1 ẩn - Toán 9 tập 2 bài 3

Để giải bài toán như này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về phương trình bậc 2 một ẩn là gì? qua đó giải một số ví dụ về phương trình bậc 2 một ẩn để các em dễ hiểu qua bài viết dưới đây.

1. Phương trình bậc 2 một ẩn là gì?

* Định nghĩa: Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng:

 ax² + bx + c = 0

Trong đó: x là ẩn số; a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và a ≠ 0.

* Ví dụ: Các phương trình sau là phương trình bậc 2

 x² + 30x - 55 = 0 là phương trình bậc hai với các hệ số a = 1; b = 30; c = -55.

 -3x² + 7x = 0 là phương trình bậc hai với các hệ số a = -3; b = 7; c = 0.

 2x² - 9 = 0 là phương trình bậc 2 với các hệ số a = 2; b = 0; c = -9.

2. Một số ví dụ về giải phương trình bậc hai

* Ví dụ 1: Giải phương trình bậc hai: 2x² + 5x = 0

* Lời giải:

- Ta có: 2x² + 5x = 0 ⇔ x(2x + 5) = 0 ⇔ x = 0 hoặc 2x + 5 = 0

 ⇔ x = 0 hoặc x = -5/2.

Vậy phương trình có nghiệm x = 0 hoặc x = -5/2.

* Ví dụ 2: Giải phương trình bậc hai: 3x² - 2 = 0.

* Lời giải:

- Ta có: 3x² - 2 = 0 ⇔ 3x² = 2 ⇔ x² = 2/3

 tức là 

Vậy phương trình có hai nghiệm: 

* Ví dụ 3: Giải phương trình bậc 2 sau: (x - 2)² = 7/2.

* Lời giải:

- Ta có:  

Vậy phương trình có 2 nghiệm: 

* Ví dụ 4: Giải phương trình bậc 2 sau: x² – 4x + 4 = 7/2

* Lời giải:

- Ta có: x² - 4x + 4 = 7/2 ⇔ (x - 2)² = 7/2

⇔ x - 2 = ±√(7/2) ⇔ x = 2 ± √(7/2)

Vậy phương trình có hai nghiệm: 

* Ví dụ 5: Giải phương trình bậc 2 sau: x² – 4x = -1/2.

* Lời giải:

x² - 4x = -1/2 ⇔ x² - 4x + 4 = -1/2 + 4 ⇔ (x - 2)² = 7/2

⇔ x - 2 = ±√(7/2) ⇔ x = 2±√(7/2)

Vậy phương trình có hai nghiệm: 

* Ví dụ 6: Giải phương trình bậc hai: 2x² – 8x = -1

* Lời giải:

- Ta có: 2x² - 8x = -1 ⇔ x² - 4x = (-1)/2

⇔ x² - 4x + 4 = (-1)/2 + 4 ⇔ (x - 2)²=7/2

⇔ x - 2 = ±√(7/2) ⇔ x = 2 ±√(7/2)

Vậy phương trình có hai nghiệm: x₁ = 2 + √(7/2); x₂ = 2 - √(7/2)

3. Bài tập vận dụng

* Bài 11 trang 42 SGK Toán 9 Tập 2: Đưa các phương trình sau về dạng ax² + bx + c = 0 và chỉ rõ các hệ số a, b, c:

a) 5x² + 2x = 4 - x

b) 

c) 2x² + x - √3 = x.√3 + 1

d) 2x² + m² = 2(m - 1)x, (m là một hằng số)

* Lời giải:

a) 5x² + 2x = 4 – x

⇔ 5x² + 2x + x – 4 = 0

⇔ 5x² + 3x – 4 = 0

Phương trình bậc hai trên có a = 5; b = 3; c = -4.

b) 

⇔ 

⇔ 

Phương trình bậc hai trên có a = 3/5; b = -1; c = -15/2.

c) 2x² + x - √3 = x.√3 + 1

⇔ 2x² + x - x.√3 - √3 – 1 = 0

⇔ 2x² + (1 - √3)x – (√3 + 1) = 0

Phương trình bậc hai trên có a = 2; b = (1 - √3); c = - (√3 + 1).

d) 2x² + m² = 2(m – 1).x

⇔ 2x² – 2(m – 1).x + m² = 0

Phương trình bậc hai trên có a = 2; b = -2(m – 1); c = m².

* Bài 12 trang 42 SGK Toán 9 Tập 2: Giải các phương trình sau:

a) x² – 8 = 0;          b) 5x² – 20 = 0;

c) 0,4x² + 1 = 0     d) 2x² + √2x = 0;

e) -0,4x² + 1,2x = 0.

* Lời giải:

a) x² – 8 = 0 ⇔ x² = 8

⇔ x = 2√2 hoặc x = -2√2.

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2√2 và x = -2√2.

b) 5x² – 20 = 0

⇔ 5x² = 20 ⇔ x² = 4

⇔ x = 2 hoặc x = -2.

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2 và x = -2.

c) 0,4x² + 1 = 0

⇔ 0,4x² = -1 ⇔ x² = -10/4

Phương trình vô nghiệm vì x² ≥ 0 với mọi x.

d) 2x² + x√2 = 0

⇔ x√2.(x√2 + 1) = 0

⇔ x = 0 hoặc x√2 + 1 = 0

⇔ x = 0 hoặc x = -1/√2

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0 và x = -1/√2.

e) -0,4x² + 1,2x = 0

⇔ -0,4x.(x – 3) = 0

⇔ x = 0 hoặc x – 3 = 0

⇔ x = 0 hoặc x = 3

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0 và x = 3.

* Bài 13 trang 43 SGK Toán 9 Tập 2: Cho các phương trình:

a) x² + 8x = -2

b) x² + 2x = 1/3

Hãy cộng vào hai vế của mỗi phương trình cùng một số thích hợp để được một phương trình mà vế trái thành một bình phương.

* Lời giải:

a) x² + 8x = -2

⇔ x² + 2.x.4 + 4² = -2 + 4²

⇔ (x + 4)² = 14

b) x² + 2x = 1/3

⇔ x² + 2x + 1 = 1/3 + 1

⇔ (x + 1)² = 4/3.

* Bài 14 trang 43 SGK Toán 9 Tập 2: Hãy giải phương trình : 2x² + 5x + 2 = 0 theo các bước như ví dụ 3 trong bài học.

* Lời giải:

- Ta có: 2x² + 5x + 2 = 0

⇔ 2x² + 5x = -2 (chuyển 2 sang vế phải)

⇔  (chia cả 2 vế cho 2)

⇔ 

(Tách (5/2)x thành 2.x.(5/4) và cộng thêm (5/4)² vào 2 vế để vế trái xuất hiện thành bình phương dạng (a + b)² = a² + 2.a.b + b²).

⇔ 

⇔ x + 5/4 = 3/4 hoặc x + 5/4 = -3/4

⇔ x = -1/2 hoặc x = -2.

Vậy phương trình có hai nghiệm: x₁ = -1/2; x₂ = -2.