Hệ thức Vi-ét và Ứng dụng - Toán 9 tập 2 chương 4 bài 6

Hệ thức Vi-ét cho thấy mối quan hệ kỳ diệu giữa các nghiệm với các hệ số của phương trình bậc hai. Bài viết dưới đây chúng ta sẽ tìm hiểu về công thức, hệ thức Vi-ét thể hiện mối quan hệ này như thế nào?

I. Lý thuyết hệ thức Vi-ét

1. Hệ thức Vi-ét

• Định lý VI-ÉT: Nếu x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình ax² + bx + c = 0 (a≠0) thì:

> Chú ý: Chỉ áp dụng hệ thức Vi-ét nếu phương trình là bậc hai (a≠0) và có nghiệm (Δ≥0).

• Dùng hệ thức Vi-ét tính nhẩm nghiệm

+) Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 (a≠0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x₁ = 1, còn nghiệm kia là x₂ = c/a.

+) Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 (a≠0) có a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x₁ = -1, còn nghiệm kia là x₂ = -c/a.

* Ví dụ 1: Tìm nghiệm của phương trình: 2x² - 7x + 5 = 0.

> Lời giải:

- Ta thấy phương trình bậc 2 có hệ số: a = 2; b = -7 và c = 5 và a + b + c = 2 - 7 + 5 = 0. Nên theo Vi-ét phương trình có nghiệm x₁ = 1; và x₂ = c/a = 5/2.

* Ví dụ 2: Tìm nghiệm của phương trình: 3x² + 5x + 2 = 0.

> Lời giải:

- Ta thấy phương trình bậc 2 có hệ số: a = 3; b = 5 và c = 2 và a - b + c = 2 - 5 + 2 = 0. Nên theo Vi-ét phương trình có nghiệm x₁ = -1; và x₂ = -c/a = -2/3.

2. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng

- Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P và S² - 4P ≥ 0 thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình bậc hai: x² - Sx + P = 0.

* Ví dụ: Tìm hai số, biết tổng của chúng bằng 27 và tích của chúng bằng 180.

> Lời giải:

- Gọi 2 số lần lượt là x₁, x₂; theo bài ra ta có S = x₁ + x₂ = 27; P = x₁.x₂ = 180 và S² - 4P = 27² - 4.180 ≥ 0, nên:

- Hai số cần tìm (x₁, x₂) là hai nghiệm của phương trình x² - 27x + 180 = 0.

- Ta có: Δ = 27² - 4.1.180 = 729 - 720 = 9; ⇒√Δ = 3.

II. Bài tập ứng dụng hệ thức Vi-ét

* Bài 25 trang 52 SGK Toán 9 Tập 2: Đối với mỗi phương trình sau, kí hiệu x₁ và x₂ là hai nghiệm (nếu có). Không giải phương trình, hãy điền vào những chỗ trống (...):

a) 2x² – 17x + 1 = 0;    Δ = …; x₁ + x₂ = ...; x₁.x₂ = ...;

b) 5x² – x – 35 = 0;     Δ = …; x₁ + x₂ = ...; x₁.x₂ = ...;

c) 8x² – x + 1 = 0;     Δ = …; x₁ + x₂ = ...; x₁.x₂ = ...;

d) 25x² + 10x + 1 = 0;    Δ = …; x₁ + x₂ = ...; x₁.x₂ = ...;

> Lời giải:

a) 2x² – 17x + 1 = 0; Có a = 2; b = -17; c = 1

 Δ = b² – 4ac = (-17)² – 4.2.1 = 281 > 0.

- Theo hệ thức Vi-ét: phương trình có hai nghiệm x₁; x₂ thỏa mãn:

 x₁ + x₂ = -b/a = 17/2;    x₁.x₂ = c/a = 1/2.

b) 5x² – x – 35 = 0; Có a = 5 ; b = -1 ; c = -35 ;

 Δ = b² – 4ac = (-1)² – 4.5.(-35) = 701 > 0

- Theo hệ thức Vi-ét, phương trình có hai nghiệm x₁; x₂ thỏa mãn:

 x₁ + x₂ = -b/a = 1/5;    x₁.x₂ = c/a = -35/5 = -7.

c) 8x² – x + 1 = 0; Có a = 8 ; b = -1 ; c = 1

 Δ = b² – 4ac = (-1)² – 4.8.1 = -31 < 0

- Phương trình vô nghiệm nên không tồn tại x₁ ; x₂.

d) 25x² + 10x + 1 = 0; Có a = 25 ; b = 10 ; c = 1

 Δ = b² – 4ac = 10² – 4.25.1 = 0

- Khi đó theo hệ thức Vi-ét có:

 x₁ + x₂ = -b/a = -10/25 = -2/5;  x₁.x₂ = c/a = 1/25.

* Bài 26 trang 53 SGK Toán 9 Tập 2: Dùng điều kiện a + b + c = 0 hoặc a – b + c = 0 để tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau:

a) 35x² – 37x + 2 = 0;

b) 7x² + 500x – 507 = 0;

c) x² – 49x – 50 = 0;

d) 4321x² + 21x – 4300 = 0.

> Lời giải:

a) 35x² – 37x + 2 = 0

- Phương trình có a = 35; b = -37; c = 2

 ⇒ a + b + c = 35 - 37 + 2 = 0

⇒ Phương trình có nghiệm x₁ = 1; x₂ = c/a = 2/35.

b) 7x² + 500x – 507 = 0

- Phương trình có a = 7; b = 500; c = -507

⇒ a + b + c = 7 + 500 – 507 = 0

⇒ Phương trình có nghiệm x₁ = 1; x₂ = c/a = -507/7.

c) x² – 49x – 50 = 0

- Phương trình có a = 1; b = -49; c = -50

⇒ a – b + c = 1 – (-49) – 50 = 0

⇒ Phương trình có nghiệm x₁ = -1; x₂ = -c/a = 50.

d) 4321x² + 21x – 4300 = 0

- Phương trình có a = 4321; b = 21; c = -4300

⇒ a – b + c = 4321 – 21 – 4300 = 0

⇒ Phương trình có nghiệm x₁ = -1; x₂ = -c/a = 4300/4321.

* Bài 27 trang 53 SGK Toán 9 Tập 2: Dùng hệ thức Vi-et để tính nhẩm các nghiệm của phương trình.

a) x² – 7x + 12 = 0;

b) x² + 7x + 12 = 0.

> Lời giải:

a) x² – 7x + 12 = 0

- Phương trình có a = 1; b = -7; c = 12

⇒ Δ = b² – 4ac = (-7)² – 4.1.12 = 1 > 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ thỏa mãn:

→ Dễ dàng nhận thấy phương trình có hai nghiệm là 3 và 4.

b) x² + 7x + 12 = 0

- Phương trình có a = 1; b = 7; c = 12

⇒ Δ = b² – 4ac = 7² – 4.1.12 = 1 > 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ thỏa mãn:

→ Dễ dàng nhận thấy phương trình có hai nghiệm là -3 và -4.

* Bài 28 trang 53 SGK Toán 9 Tập 2:  Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:

a) u + v = 32 , uv = 231

b) u + v = -8, uv = -105

c) u + v = 2, uv = 9

> Lời giải:

a) Ta có: S = 32; P = 231 ⇒ S² – 4P = 32² – 4.231 = 100 > 0

⇒ Tồn tại u và v là hai nghiệm của phương trình: x² – 32x + 231 = 0.

Ta có: Δ = (-32)² – 4.231 = 100 > 0

⇒ PT có hai nghiệm phân biệt: 

Vậy u = 21 ; v = 11 hoặc u = 11 ; v = 21.

b) Ta có: S = -8; P = -105 ⇒ S² – 4P = (-8)² – 4.(-105) = 484 > 0

⇒ u và v là hai nghiệm của phương trình: x² + 8x – 105 = 0

Ta có: Δ’ = 4² – 1.(-105) = 121 > 0

⇒ PT có hai nghiệm phân biệt: 

Vậy u = 7 ; v = -15 hoặc u = -15 ; v = 7.

c) Ta có: S = 2 ; P = 9 ⇒ S² – 4P = 2² – 4.9 = -32 < 0

⇒ Không tồn tại u và v thỏa mãn.