Giải phương trình căn bậc 2 lớp 9 chuyên đề căn bậc 2

Vì vậy bài viết KhoiA sẽ tổng hợp bài tập, cách giải phương trình căn bậc 2 lớp 9 đầy đủ và chi tiết, giúp các em dễ dàng hơn trong việc giải phương trình chứa căn thức thức lớp 9.

1. Để Giải phương trình căn bậc 2 lớp 9 ta cần nhớ

Một số công thức, biểu thức căn thức bậc 2 cần nhớ

• Phương trình 

• Phương trình

• Phương trình 

• Phương trình 

• Phương trình 

• Phương trình

• Phương trình  

• Phương trình  

• Phương trình  

• 

• 

• 

II. Cách Giải phương trình căn bậc 2 lớp 9

Để Giải phương trình căn bậc 2 lớp 9 chúng ta sử dụng một số cách sau:

• Cách 1: Nâng lên cùng một lũy thừa ở cả hai vế.

• Cách 2: Đặt ẩn phụ.

• Cách 3: Sử dụng biểu thức liên hợp, đánh giá.

• Cách 4: Một số phương trình đặc biệt có cách giải riêng biệt khác.

1. Giải phương trình căn bậc 2 bằng cách nâng lên lũy thừa cả 2 vế

1.1 Giải phương trình căn bậc 2 dạng:  với e ≥ 0 là hằng số

i) Trường hợp:  f(x) = ax + b hoặc  thì:

+ Bước 1: Tìm điều kiện của x để f(x) ≥ 0

+ Bước 2: Bình phương 2 vế phương trình để khử căn.

+ Bước 3: Giải phương trình để tìm nghiệm x thỏa mãn điều kiện

* Ví dụ 1: Giải các phương trình căn bậc hai sau:

a) 

b) 

c) 

d) 

° Lời giải:

a) (*)

- Điều kiện: x ≥ 0, khi đó bình phương 2 vế ta có:

 (*) ⇔ 16x = 8² 

⇔ 16x = 64 ⇔ x = 4

- Ta thấy x = 4 thỏa điều kiện nên pt có nghiệm x = 4.

b)  (*)

- Điều kiện: x ≥ 0, khi đó bình phương 2 vế ta có:

 

- Ta thấy x = 5/4 thỏa điều kiện nên pt có nghiệm x = 5/4.

c)  (*)

- Điều kiện: x – 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1;

khi đó ta có (ở bày này ta có thể rút gọn hệ số trước khi bình phương 2 vế):

 

x = 50

Ta thấy x = 50 thỏa điều kiện nên pt có nghiệm x = 50.

d)  (*)

- Vì (1 - x)² ≥ 0 ∀x nên pt xác định với mọi giá trị của x.

 

⇔ x – 1 = 3 hoặc x – 1 = –3

⇔ x = 4 hoặc x  = –2

→ Vậy phương trình có 2 nghiệm x = –2 hoặc x = 4

* Ví dụ 2: Giải các phương trình chứa căn sau:

a)  

b) 

° Lời giải:

a)   (*)

- Điều kiện: 

- Khi đó bình phương 2 vế ta được:

  

- Đối chiếu điều kiện (x < 1 hoặc x ≥ 3/2) ta thấy x = 1/2 thỏa điều kiện, nên ta nhận nghiệm này.

Kết luận phương trình có nghiệm x = 1/2.

b)  (*)

- Điều kiện:

- Khi đó bình phương 2 vế ta được:

Đối chiếu điều kiện (x ≥ 3/2) ta thấy x = 1/2 không thỏa điều kiện này, nên ta KHÔNG nhận nghiệm này.

Kết luận phương trình vô nghiệm.

ii) Trường hợp: f(x) = ax² + bx + c (*) thì ta cần kiểm tra biểu thức f(x).

+) Nếu f(x) = ax² + bx + c = (Ax ± B)² tức là có dạng hằng đẳng thức thì KHAI CĂN, tức là:

  

+) Nếu  f(x) = ax² + bx + c không có dạng hằng đẳng thức thì ta thực hiện các bước sau:

- Bước 1: Điều kiện f(x) ≥ 0

- Bước 2: Bình phương 2 vế phương trình để khử căn thức

- Bước 3: Giải phương trình bậc 2 (bằng cách phân tích thành nhân tử đưa về pt tích).

* Ví dụ 1: Giải phương trình chứa căn bậc hai sau:   (*)

° Lời giải:

- Vì: 2x² – 8x + 8 = 2(x² – 4x + 4) = 2(x – 2)² nên ta có:

Vậy phương trình có 2 nghiệm x = –1 và x = 5.

* Ví dụ 2: Giải phương trình chứa căn thức sau:  (*)

° Lời giải:

- Ta thấy: x² – 4x + 6 = x² – 4x + 4 + 2 = (x – 2)² + 2 không có dạng (Ax ± B)² nên ta thực hiện như sau:

- Điều kiện: x² – 4x + 6 ≥ 0 ⇔ (x – 2)² + 2 ≥ 0 ∀x nên biểu thức xác định với mọi giá trị của x.

- Bình phương 2 vế phương trình ta được:

(x – 2)² + 2 = 11 ⇔ (x – 2)² = 9 ⇔ |x – 2| = 3

⇔ x – 2 = 3 hoặc x – 2 = –3

⇔ x = 5 hoặc x = –1

- Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm x = –1 và x = 5.

1.2. Giải phương trình căn bậc 2 dạng: 

* Phương pháp giải:

- Bước 1: Viết điều kiện của phương trình: 

- Bước 2: Nhận dạng từng loại tương ứng với các cách giải sau:

 ¤ Loại 1: Nếu f(x) có dạng hằng đẳng thức (Ax ± B)² thì khai căn đưa về phương trình trị tuyệt đối để giải.

 ¤ Loại 2: Nếu f(x) = Ax ± B và g(x) = Ex ± D thì dùng phương pháp bình phương 2 vế.

 ¤ Loại 3: Nếu f(x) = Ax² + Bx + C [không có dạng hằng đẳng thức (Ax ± B)²] và g(x) = Ex ± D thì dùng phương pháp bình phương 2 vế.

 ¤ Loại 4: Nếu f(x) = Ax² + Bx + C và g(x) = Ex² + Dx + F thì thử phân tích f(x) và g(x) thành nhân tử, nếu chúng có nhân tử chung thì đặt nhân tử chung đưa về phương trình tích.

- Bước 3: Kiểm tra nghiệm tìm được có thỏa mãn điều kiện không sau đó kết luận nghiệm của phương trình.

* Ví dụ 1: Giải phương trình căn bậc hai sau: 

° Lời giải:

- Ta có:  

 

 

Vậy phương trình vô nghiệm

* Ví dụ 2: Giải phương trình chứa căn sau:  (*)

° Lời giải:

- Ta có: 

 

Vậy phương trình có vô số nghiệm x ≤ 3.

* Ví dụ 3: Giải phương trình chứa căn bậc 2 sau: 

° Lời giải:

- Điều kiện: 

- Bình phương 2 vế ta được: 

2x - 3 = (x - 1)² 

⇔ 2x - 3 = x² - 2x + 1

⇔ x² - 4x + 4 = 0 

⇔ (x - 2)² = 0 

⇔ x = 2.

- Đối chiếu với điều kiện ta thấy x = 2 thỏa điều kiện nên phương trình nhận nghiệm này.

Vậy phương trình có nghiệm x = 2.

* Ví dụ 4: Giải phương trình chứa căn thức sau:  (*)

° Lời giải:

- Ta thấy: f(x) = x² - 5x - 6 không có dạng hằng đẳng thức (Ax ± B)² (và vế phải là dạng hàm bậc 1) nên để khử căn ta dùng phương pháp bình phương 2 vế.

- Điều kiện:   khi đó ta bình phương 2 vế được:

 

⇔ x = –10

- Kiểm tra x = –10 có thỏa mãn điều kiện không bằng cách thay giá trị này vào các biểu thức điều kiện thấy không thỏa

→ Vậy phương trình vô nghiệm.

1.3. Giải phương trình căn bậc 2 dạng: 

* Để giải phương trình dạng này ta thực hiện các bước sau:

- Bước 1: Nếu f(x) và h(x) có chứa căn thì phải có điều kiện biểu thức trong căn ≥ 0.

- Bước 2: Khử căn thức đưa phương trình về dạng pt trị tuyệt đối: |f(x)| ± |h(x)| = g(x).

- Bước 3: Xét dấu trị tuyệt đối (khử trị tuyệt đối) để giải phương trình.

* Ví dụ 1: Giải phương trình chứa căn sau:  (*)

° Lời giải:

- Điều kiện: x ≥ 0.

- Mặt khác, ta thấy:  

và nên ta có:

   (**)

- Ta xét các trường hợp để phá dấu trị tuyệt đối:

+) TH1: Nếu , ta có:

 

⇒ Phương trình có vô số nghiệm x ≥ 9.

+) TH2: Nếu  , ta có:

  

- Đối chiếu điều kiện ta thấy x = 9 không thỏa đk nên loại.

+) TH3: Nếu 

+) TH4: Nếu , ta có:

 

→ Phương trình vô nghiệm.

⇒ Kết luận: Vậy phương trình có vô số nghiệm x ≥ 9.

* Ví dụ 2: Giải phương trình chứa căn thức bậc 2 sau: 

° Lời giải:

- Điều kiện: x ≥ 1

- Nhận thấy: 

  

- Đến đây xét các trường hợp giải tương tự ví dụ 1 ở trên.

2. Giải phương trình căn bậc 2 bằng cách đặt ẩn phụ

* Ví dụ 1: Giải phương trình chứa căn thức bậc 2 sau:  (*)

° Lời giải:

- Điều kiện: x ≥ 0

 Đặt khi đó ta có pt (*) trở thành: t² – 3t + 2 = 0

⇔ (t – 1)(t – 2) = 0

⇔ t = 1 hoặc t = 2

- Cả 2 nghiệm t đều thỏa điều kiện nên ta có:

 

* Ví dụ 2: Giải phương trình sau: (*)

° Lời giải:

- Điều kiện: 

 Đặt  , khi đó pt(*) trở thành:

  (**)

- Ta thấy pt(**) có dạng ở mục 2) loại 3; với điều kiện 5 - t ≥ 0 ⇔ t ≤ 5; ta bình phương 2 vế (**) được:

 t² + 5 = (5 - t)² ⇔ t² + 5 = t² - 10t + 25 ⇔ 10t = 20 ⇔ t= 2

- Với t = 2 thỏa điều kiện 0≤ t ≤ 5 nên ta có:

  

→ Phương trình có nghiệm x = 6.

* Ví dụ 3: Giải phương trình sau: (*)

° Lời giải:

- Điều kiện: x² - 2x - 3 ≥ 0. Khi đó ta có:

(*)  (**)

 Đặt  khi đó pt(**) trở thành:

t² + 3t – 4 = 0 ⇔  (t – 1)(t + 4) = 0

⇔ t = 1 hoặc t = –4.

- Đối chiếu điều kiện thì t = -4 loại và t = 1 nhận.

 Với t = 1 ⇒ x² - 2x - 3 = 1

⇔ x² - 2x - 4 = 0 ⇔ (x² - 2x + 1) - 5 = 0.

⇔ (x - 1)² = 5

- Kiểm tra thấy 2 nghiệm x trên thỏa điều kiện nên pt có 2 nghiệm. x = 1 ± √5.

3. Giải phương trình vô tỉ bằng cách sử dụng biểu thức liên hợp, đánh giá

- Áp dụng với phương trình chứa căn thức dạng:

  (với c, d > 0 và c + d = e)

- PT có thể cho ngay dạng này hoặc có thể tách một hệ số nào đó để có [f(x)]²; [h(x)]² hay [g(x)]²;

* Ví dụ 1: Giải phương trình chứa căn bậc 2 sau: 

  (*)

° Lời giải:

- Ta nhận thấy:

3x² + 6x + 12 = 3(x² + 2x + 1) + 9 = 3(x + 1)² + 9 ≥ 9

 

5x⁴ - 10x² + 30 = 5(x⁴ - 3x² + 1) + 25 = 5(x² - 1)² + 25 ≥ 25

- Do đó:  dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

 

→ Vậy phương trình có nghiệm x = –1.

* Ví dụ 2: Giải phương trình vô tỉ sau: 

* Lời giải:

Xét

 

Vậy phương trình vô nghiệm.

III. Bài tập về phương trình căn bậc 2 lớp 9 tự giải

* Bài tập 1: Giải các phương trình chứa căn bậc 2 sau:

a)

b)

* Bài tập 2: Giải các phương trình chứa căn bậc 2 sau:

a) 

b) 

c) 

* Bài tập 3: Giải các phương trình chứa căn bậc 2 sau:

a) 

b) 

c) 

d)