Đường thẳng cắt parabol tại 2 điểm khi nào? Tìm m để d cắt P tại hai điểm thỏa điều kiện

Vậy đường thẳng cắt parabol tại 2 điểm khi nào? cách giải bài tập tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm thỏa mãn điều kiện về vị trí giao điểm như nào? câu trả lời sẽ có trong bài viết này.

1. Đường thẳng cắt parabol tại 2 điểm khi nào?

Phương trình hoành độ giao điểm của parabol và đường thẳng là

ax² = mx + n ⇔ ax² - mx - n = 0 (*)

Đường thẳng cắt parabol tại 2 điểm khi phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt (Δ > 0 hoặc Δ' > 0).

2. Cách tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm thỏa điều kiện

Cách giải bài tập đường thẳng cắt parabol thỏa mãn điều kiện về vị trí giao điểm ta thực hiện 4 bước như sau:

Cho parabol (P): y = ax² (a ≠ 0) và đường thẳng y = mx + n.

• Bước 1: Viết phương trình hoành độ giao điểm của parabol và đường thẳng.

ax² = mx + n ⇔ ax² - mx - n = 0 (*)

• Bước 2: Xét điều kiện để parabol có điểm chung với đường thẳng:

- Trường hợp 1: Parabol tiếp xúc với đường thẳng (có 1 điểm chung) ⇒ phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm kép (Δ = 0 hoặc Δ' = 0).

- Trường hợp 2: Parabol cắt đường thẳng tại hai điểm phân biệt (có 2 điểm chung phân biệt) ⇒ phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt (Δ > 0 hoặc Δ' > 0).

• Bước 3:Xét điều kiện về vị trí giao điểm:

° Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm nằm phía trên trục hoành ⇒ a > 0.

° Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm nằm phía dưới trục hoành ⇒ a < 0.

° Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm nằm cùng phía so với trục tung ⇔ phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm cùng dấu

 hay a.n < 0.

° Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm cùng nằm phía bên phải trục tung ⇔ phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm dương

° Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm cùng nằm phía bên trái trục tung ⇔ phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm âm

° Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm nằm về hai phía trục tung ⇔ phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm trái dấu 

 hay a.n > 0

° Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm thỏa mãn điều kiện khác: Sử dụng hệ thức Vi-ét, kết hợp biến đổi biểu thức.

• Bước 4: Kết luận.

3. Ví dụ tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm thỏa điều kiện

* Ví dụ 1: Cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = x + m (với m là tham số). Tim giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt ở hai phía so với trục tung.

* Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là:

x² = x + m ⇔ x² - x - m = 0 (*) 

Ta có: Δ = b² - 4ac = (-1)² - 4.1.(-m) = 1 + 4m

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt.

⇔ Δ > 0 ⇔ 1 + 4m > 0 ⇔ m > -1/4

Giả sử x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình (*)

Áp dụng định lí Vi-ét, ta có: P = x₁.x₂ = c/a = -m

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt ở hai phía so với trục tung thì hoành độ của các giao điểm trái dấu:

⇔ x₁.x₂ < 0 ⇔ -m < 0 ⇔ m > 0

Kết hợp điều kiện ta có kết luận:

Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt ở hai phía của trục tung khi m > 0.

* Ví dụ 2: Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng (d): y = -x + 2m và parabol (P):  cắt nhau tại hai điểm phân biệt nằm cùng phía so với trục tung.

* Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:

x² = -x + 2m ⇔ x² - 2x + 4m = 0 (*) 

Ta có: Δ' = b'² - ac = (1)² - 1.(4m) = 1 - 4m

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt.

⇔ Δ' > 0 ⇔ 1 - 4m > 0 ⇔ m < 1/4

Giả sử x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình (*)

Áp dụng định lí Vi-ét, ta có: P = x₁.x₂ = c/a = 4m

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt ở cùng phía so với trục tung thì hoành độ của các giao điểm cùng dấu:

⇔ P > 0 ⇔ 4m > 0 ⇔ m > 0

Kết hợp điều kiện ta có kết luận:

Vậy (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm cùng phía của trục tung khi: 0 < m < 1/4.