Đa thức một biến là gì? Cách biểu diễn đa thức 1 biến, cách tính giá trị và nghiệm của đa thức một biến?

1. Đa thức một biến là gì?

Đơn thức một biến là biểu thức đại số chỉ gồm một số hoặc một biến, hoặc một tích giữa các số và biến đó.

* Ví dụ: 6t; –7; 2z⁴; 2022y²; –3x² là những đơn thức một biến.

Ta có thể thực hiện các phép tính cộng, trừ, nhân, chia đơn thức cùng một biến.

* Ví dụ: 2x + 3x = 5x; 3y – 7y = –4y; 2t. 3t² = 6t³

- Đa thức một biến là tổng của những đơn thức cùng một biến. Đơn thức một biến cũng là đa thức một biến.

* Ví dụ:

• A = 5x⁵ + 3x³ + 2x² + x. Đa thức A là đa thức một biến (biến x).

• B =– 8y + 2y² + 1. Đa thức B là đa thức một biến (biến y).

• C = 5 – 2t + 4t² + 9t⁴. Đa thức C là đa thức một biến (biến t).

• D = 2 thì ta có thể viết C = 0x + 2 nên C cũng là đa thức một biến.

Quy ước: P = 0 được gọi là đa thức không.

2. Cách biểu diễn đa thức một biến

- Để thuận tiện cho việc tính toán đối với các đa thức một biến, ta thường viết đa thức đó thành đa thức thu gọn và sắp xếp các đơn thức của chúng theo lũy thừa tăng hoặc giảm của biến.

- Bậc của đa thức một biến (khác đa thức không, đã thu gọn) là số mũ lớn nhất của biến trong đa thức đó.

* Ví dụ: Thu gọn đa thức: P = 2x² + 3x + 2x – 4 + x². Tìm bậc và hệ số cao nhất của đa thức.

Trả lời:

Ta có: P = 2x² + 3x + 2x – 4 + x²

= (2x² + x²) + (3x + 2x) – 4

= 3x² + 5x – 4.

Trong đa thức trên, số mũ cao nhất của x là 2 nên bậc của đa thức là 2.

Hệ số của x² là 3, gọi là hệ số cao nhất.

Vậy đa thức thu gọn của đa thức P là đa thức 3x² + 5x – 4 hoặc đa thức – 4 + 5x + 3x². Bậc của đa thức P(x) là 2, hệ số cao nhất là 3.

* Chú ý:

- Số thực khác 0 được gọi là đa thức bậc 0.

- Số 0 được gọi là đa thức không có bậc.

* Ví dụ: Các số −3; ; 1;  được gọi là đa thức bậc 0.

3. Giá trị của đa thức một biến

Để tính giá trị của đa thức một biến ta thực hiện các bước sau:

- Bước 1: Thay chữ bởi giá trị số đã cho (chú ý các trường hợp phải đặt số trong dấu ngoặc);

- Bước 2: Thực hiện các phép tính (chú ý đến thứ tự thực hiện các phép tính: thực hiện phép lũy thừa, rồi đến phép nhân chia, sau đó là phép cộng trừ).

* Ví dụ: Tính giá trị của đa thức A (x) = 2x⁴ – 8x² + 5x – 7 khi x = 3.

Trả lời:

Thay x = 3 vào đa thức trên, ta được:

A = 2x⁴ – 8x² + 5x – 7

= 2.3⁴ – 8.3² + 5.3 – 7

= 2.81 – 8.9 + 15 – 7

= 162 – 72 + 15 – 7 = 98.

Vậy khi x = 3 thì giá trị của đa thức A(x) là 98.

4. Nghiệm của đa thức một biến

Nếu đa thức P(x) có giá trị bằng 0 tại x = a thì ta nói a hoặc x = a là một nghiệm của đa thức đó.

* Chú ý:

- Một đa thức (khác đa thức không) có thể có 1; 2; 3; ...; n nghiệm hoặc không có nghiệm nào.

- Số nghiệm của một đa thức (khác đa thức 0) không vượt qua bậc của nó.

* Ví dụ 1: Nêu các nghiệm của đa thức sau:

a) P(x) = 2x + 4;

b) M(t) = t² – 4x + 3.

Trả lời:

a) x = – 2 là một nghiệm của đa thức P(x) = 2x + 4 vì P(–2) = 2. (–2) + 4 = 0.

b) Đa thức M(t) = t² – 4x + 3 có các nghiệm là t = 1 và t = 3 vì:

M(1) = 1² – 4. 1 + 3 = 1 – 4 + 3 = 0;

M(3) = 3² – 4. 3 + 3 = 9 – 12 + 3 = 0.

* Ví dụ 2: Tìm nghiệm của đa thức P(y) = 2y + 6.

Trả lời:

Ta có: 2y + 6 = 0

2y = −6

y = (−6): 2

y = −3

Vậy nghiệm của đa thức P(y) là –3.