Đường tiệm cận ngang, tiệm cận đứng, tiệm cận xiên là gì? Cách tìm đường tiệm cận - Toán giải tích 12 bài 4

11:48:5301/08/2021

Tìm đường tiệm cận là một bước quan trọng trước khi lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. Việc tìm đường tiềm cận đứng, tiệm cận ngang và tiệm cận xiên thường chỉ đối với các hàm số hữu tỉ chứa ẩn dưới mẫu thức.

Vậy cách tìm đường tiệm cận đứng, tiện cận ngang và tiệm cận xiên là gì? Cách tìm đường tiệm cận đứng, ngang và xiên như thế nào? chúng ta hãy cùng tìm hiểu qua bài viết này.

• Bài tập áp dụng tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

1. Đường tiệm cận ngang

Tiện cận ngang là gì?

a) Định nghĩa:

- Đường thẳng y = b được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

$\small \lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=b$

hoặc: $\small \lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=b$

b) Chú ý:

- Điều kiện để đồ thị hàm số $\small y=\frac{P(x)}{Q(x)}$ có tiệm cận ngang là bậc của đa thức P(x) bé hơn hoặc bằng bậc của đa thức Q(x).

Tiệm cận đứng và tiệm cận ngang

* Ví dụ: Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số sau: $\small y=\frac{2x-1}{2x+3}$

> Lời giải:

- TXĐ: D = R\{-3/2}

- Ta có:

$\small \lim_{x\rightarrow -\infty }y=\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{2x-1}{2x+3}=1$

$\small \lim_{x\rightarrow +\infty }y=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{2x-1}{2x+3}=1$

Vây đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $\small y=\frac{2x-1}{2x+3}$

2. Đường tiệm cận đứng

Đường tiệm cận đứng là gì?

a) Định nghĩa:

- Đường thẳng x = a là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu thỏa một trong các điều kiện sau:

$\small \lim_{x\rightarrow a^+ }f(x)=-\infty$

hoặc: $\small \lim_{x\rightarrow a^+ }f(x)=+\infty$

hoặc: $\small \lim_{x\rightarrow a^- }f(x)=-\infty$

hoặc: $\small \lim_{x\rightarrow a^- }f(x)=+\infty$

b) Chú ý:

- Đường thẳng x = a là đường tiệm cận đứng của đồ thị y = f(x) thì không thuộc tập xác định của f(x).

- Đối với hàm phân thức $\small y=\frac{P(x)}{Q(x)}$ thì a là nghiệm Q(x) = 0.

* Ví dụ: Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số sau: $\small y=\frac{2x-1}{2x+3}$

> Lời giải:

- TXĐ: D = R\{-3/2}

- Ta có:

$\small \lim_{x\rightarrow (-2)^-} y=\lim_{x\rightarrow (-2)^-} \frac{2x-1}{2x+3}=-\infty$

$\small \lim_{x\rightarrow (-2)^+} y=\lim_{x\rightarrow (-2)^+} \frac{2x-1}{2x+3}=+\infty$

Vậy đường thẳng x = -2 là tiemj cận đứng của đồ thị hàm số $\small y=\frac{2x-1}{2x+3}$

3. Tiệm cận xiên (đọc thêm)

Tiệm cận xiên là gì?

a) Định nghĩa:

- Đường thẳng y = ax + b với a ≠ 0, được gọi là đường tiệm cận xiên (gọi tắt là tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu thỏa một trong các điều kiện sau:

$\small \lim_{x\rightarrow +\infty }[f(x)-(ax+b)]=0$

hoặc: $\small \lim_{x\rightarrow -\infty }[f(x)-(ax+b)]=0$

b) Cách xác định hệ số a, b của tiệm cận xiên

- Để xác định các hệ số a, b trong phương trình của đường tiệm cận xiên ta có thể áp dụng các công thức sau:

$\small a=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{f(x)}{x};\: \: b=\lim_{x\rightarrow +\infty }[f(x)-ax]$

hoặc: $\small a=\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{f(x)}{x};\: \: b=\lim_{x\rightarrow -\infty }[f(x)-ax]$

* Ví dụ: Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số $\small y=f(x)=x+\sqrt{x^2-1}$

> Lời giải:

- Hàm số đã cho xác định liên tục trên (−∞;1]U[1;+∞)

Ta có:

$\small a=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{f(x)}{x} =\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{x+\sqrt{x^2-1}}{x}$

$\small =\lim_{x\rightarrow +\infty }\left (1+\sqrt{1-\frac{1}{x^2}} \right )=2$

$\small b=\lim_{x\rightarrow +\infty }[f(x)-ax]=\lim_{x\rightarrow +\infty }[\sqrt{x^2-1}-x]$

$\small =\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{(\sqrt{x^2-1}-x)(\sqrt{x^2-1}+x)}{\sqrt{x^2-1}+x}$ $\small =\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{-1}{\sqrt{x^2-1}+x}=0$

Vậy suy ra: y = 2x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số khí x → +∞.

$\small a=\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{f(x)}{x}= \lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{x\sqrt{x^2-1}}{x}$ $\small =-\lim_{x\rightarrow -\infty }\left ( 1-\sqrt{1-\frac{1}{x^2}} \right )=0$

$\small b=\lim_{x\rightarrow -\infty }[f(x)-ax]=\lim_{x\rightarrow -\infty }(\sqrt{x^2+1}+x)$

$\small =\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{(\sqrt{x^2+1}+x)(\sqrt{x^2+1}-x)}{(\sqrt{x^2+1}-x)}$ $\small =\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{1}{\sqrt{x^2+1}-x}=0$

Vậy suy ra: y = 2x là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số khí x → -∞.

Trên đây là nội dung lý thuyết về đường tiệm cận, hy vọng qua bài viết các em đã hiểu được tiệm cận ngang, tiệm cận đứng và tiệm cận xiên là gì? cách tìm đường tiệm cận ngang, tiệm cận đứng và tiệm cận xiên thực hiện như thế nào?

Đường tiệm cận ngang, tiệm cận đứng, tiệm cận xiên là gì? Cách tìm đường tiệm cận - Toán giải tích 12 bài 4

Tags

Đánh giá & nhận xét