Logarit là gì? Quy tắc tính logarit của một tích, một thương, một lũy thừa, Công thức đổi cơ số logarit - Toàn 12 bài 3

16:22:4417/10/2021

Logarit cùng với hàm mũ và lũy thừa cũng có một số dạng toán thường xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp THPT quốc gia, vì thế việc nắm vững kiến thức về logarit là điều cần thiết.

Vậy logarit là gì? Quy tắc tính logarit của một tích, một thương, một lũy thừa như thế nào? Công thức đổi cơ số logarit ra sao? chúng ta sẽ được giới thiệu trong bài viết này.

I. Khái niệm logarit

1. Định nghĩa logarit

- Cho hai số dương a, b với a ≠ 1. Số α thảo mãn đẳng thức a^α= b được gọi là lôgarit cơ số a của b và ký hiệu là log_ab.

α = log_ab ⇔ a^α= b (a, b > 0, a ≠ 1)

> Chú ý: Không có logarit của số âm và số 0.

* Ví dụ 1: log₃9 = 2 vì 3² = 9.

* Ví dụ 2: a) Tính $\small log_{\frac{1}{2}}4$ và $\small log_3\frac{1}{27}$

b) Có các số x, y nào để 3^x = 0; 2^y = -3 hay không?

> Lời giải:

a) Ta có:

$\small log_{\frac{1}{2}}4=log_{2^{-1}}4=-log_24=-2$

$\small log_3\frac{1}{27}=log_3(27^{-1})=-log_327=-3$

b) Không có số x, y nào để 3^x = 0; 2^y = -3 vì 3^x > 0 và 2^y > 0 với mọi x, y.

2. Tính chất của logarit

- Cho 2 số dương a, b với a ≠ 1 ta có các tính chất sau:

log_a1 = 0.

log_aa = 1.

$\small a^{log_ab}=b$ .

log_a(a^α) = α.

* Ví dụ 1: Có $\small 3^{2log_34}=(3^{log_34})^2=4^2=16$

$\small log_{\frac{1}{2}}4=log_{\frac{1}{2}}\left ( \frac{1}{2} \right )^{-2}=-2$

* Ví dụ 2: Tính $\small 4^{log_2\frac{1}{7}}$ ; $\small \left ( \frac{1}{25} \right )^{log_5\frac{1}{3}}$

> Lời giải:

- Ta có: $\small 4^{log_2\frac{1}{7}}=2^{2.log_2\frac{1}{7}} =\left (2^{log_2\frac{1}{7}} \right )^2$ $\small =\left ( \frac{1}{7} \right )^2=\frac{1}{49}$

- Ta có: $\small \left ( \frac{1}{25} \right )^{log_5\frac{1}{3}}=5^{-2.log_5\frac{1}{3}} =\left (5^{log_5\frac{1}{3}} \right )^{-2}$ $\small =\left ( \frac{1}{3} \right )^{-2}=9$

II. Quy tắc tính logarit

1. Quy tắc tính logarit của một tích

• Định lý 1: Cho 3 số dương a, b₁, b₂ với a ≠ 1 ta có:

log_a(b₁b₂) = log_ab₁ + log_ab₂

• Logarit của một tích bằng tổng các logarit.

* Ví dụ: Tính $\small log_{\frac{1}{2}}2+2log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{3}+log_{\frac{1}{2}}\frac{3}{8}$

> Lời giải:

- Ta có: $\small log_{\frac{1}{2}}2+2log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{3}+log_{\frac{1}{2}}\frac{3}{8}$

$\small =log_{\frac{1}{2}}2+log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{3}+log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{3} +log_{\frac{1}{2}}\frac{3}{8}$ $\small =log_{\frac{1}{2}}\left (2.\frac{1}{3}.\frac{1}{3} .\frac{3}{8} \right ) =log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{12}$

2. Quy tắc tính logarit của một thương

• Định lý 2: Cho 3 số dương a, b₁, b₂ với a ≠ 1 ta có:

log_a(b₁/b₂) = log_ab₁ - log_ab₂

• Logarit của một thương bằng hiệu các lôgarit.

• Đặc biệt: $\small log_a\frac{1}{b}=-log_ab,\: (b>0)$

* Ví dụ 1: Cho b₁ = 2⁵, b₂ = 2³. Tính log₂⁡b₁ - log₂⁡b₂ , log₂⁡b₁/b₂ và so sánh các kết quả.

> Lời giải:

- Ta có: $\small log_2b_1-log_2b_2=log_22^5-log_22^3=5-3=2$

$\small log_2\frac{b_1}{b_2}=log_2\frac{2^5}{2^3}=log_22^2=2$

Vậy $\small log_2b_1-log_2b_2=log_2\frac{b_1}{b_2}$

* Ví dụ 2: Tính log₄16 - log₄128

> Lời giải:

- Áp dụng công thức tính log của một thương, ta có:

$\small log_416-log_464=log_4\frac{16}{64}$ $\small =log_4\frac{1}{4}=-log_44=-1$

3. Logarit của một lũy thừa

• Định lý 3: Cho 2 số dương a, b với a ≠ 1 ta có:

log_ab^α = αlog_ab

• Lôgarit của một lũy thừa bằng tích của số mũ với lôgarit của cơ số.

• Đặc biệt: $\small log_a\sqrt[n]{b}=\frac{1}{n}log_ab$

* Ví dụ: Tính a) $\small log_24^{\frac{1}{5}}$ ; b) $\small log_3\sqrt{5}-\frac{1}{2}log_315$

> Lời giải:

a) Ta có: $\small log_24^{\frac{1}{5}}=log_22^{\frac{2}{5}}=\frac{2}{5}log_22=\frac{2}{5}$

b) Ta có: $\small log_3\sqrt{5}-\frac{1}{2}log_315= log_3\sqrt{5}-log_3\sqrt{15}$

$\small =log_3\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{15}}=log_3\frac{1}{\sqrt{3}} =log_3(3)^{-\frac{1}{2} }=\frac{1}{2}$

III. Công thức đổi cơ số logarit

• Định lý 4: Cho 3 số dương a, b, c với a ≠ 1, c ≠ 1 ta có:

log_ab = log_cb/log_ca

• Đặc biệt: $\small log_ab=\frac{1}{log_ba}$ ; $\small log_{a^\alpha} b=\frac{1}{\alpha }log_ab$

* Ví dụ 1: Cho a = 4, b = 64, c = 2. Tính log_a⁡b, log_ca, log_cb.

Tìm một hệ thức liên hệ giữa ba kết quả thu được.

> Lời giải:

log_a⁡b = log₄64 = log₄4³ = 3.

log_ca = log₂4 = 2.

log_cb = log₂64 = log₂2⁶ = 6.

Vậy log_cb = log_ca. log_a⁡b

hay log_a⁡b = log_cb/log_ca.

IV. Logarit thập phân. Logarit tự nhiên

1. Lôgarit thập phân

• Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số 10.

• log₁₀b thường được viết logb hoặc lgb.

2. Lôgarit tự nhiên

• Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số e.

• log_eb còn được viết lnb.

> Chú ý: Muốn tính log_ab với a ≠ 10 và a ≠ e, bằng máy tính bỏ túi, ta có thể sử dụng công thức đổi cơ số, chẳng hạn:

$\small log_23=\frac{lg3}{lg2}=1,584962501$

$\small log_30,8=\frac{ln0,8}{ln3}=-0,203114013$

Trên đây KhoiA.Vn đã giới thiệu với các em về Logarit, Quy tắc tính logarit của một tích, một thương, một lũy thừa, Công thức đổi cơ số logarit. Hy vọng bài viết giúp các em hiểu rõ hơn. Nếu có câu hỏi hay góp ý các em hãy để lại bình luận dưới bài viết, chúc các em thành công.

Logarit là gì? Quy tắc tính logarit của một tích, một thương, một lũy thừa, Công thức đổi cơ số logarit - Toàn 12 bài 3

Tags

Đánh giá & nhận xét