Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và bài tập - Toán 12 bài 1

Vậy quy tắc xét tính đơn điệu (hàm số luôn đồng biến, hoặc luôn nghịch biến trên khoảng xác định K) như thế nào? Nội dung bài viết dưới đây sẽ giải đáp câu hỏi này.

A. Lý thuyết hàm số đồng biến, nghịch biến.

I. Tính đơn điệu của hàm số

1. Nhắc lại sự đồng biến, nghịch biến

- Kí hiệu K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng.

• Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K ⇔ ∀x_1,x₂ ∈ K, x₁ < x₂ thì f(x₁) < f(x₂).

• Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K ⇔ ∀x_1,x₂ ∈ K, x₁ < x₂ thì f(x₁) > f(x₂).

2. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

a) Điều kiện cần để hàm số đơn điệu

Cho hàm số f có đạo hàm trên K.

 - Nếu f đồng biến trên K thì f'(x) ≥ 0 với mọi x ∈ K.

 - Nếu f nghịch biến trên K thì f'(x) ≤ 0 với mọi x ∈ K.

b) Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu

Cho hàm số f có đạo hàm trên K.

- Nếu f'(x) > 0 với mọi x ∈ K thì f đồng biến trên K.

- Nếu f'(x) < 0 với mọi x ∈ K thì f nghịch biến trên K.

- Nếu f'(x) = 0 với mọi x ∈ K thì f là hàm hằng trên K.

> Chú ý:  Định lý mở rộng

 - Nếu f'(x) ≥ 0 với mọi x ∈ K và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì f đồng biến trên K.

 - Nếu f'(x) ≤ 0 với mọi x ∈ K và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì f nghịch biến trên K.

II. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số

1. Quy tắc

 i) Tìm tập xác định

 ii) Tính đạo hàm f'(x). Tìm các điểm x_i (i= 1 , 2 ,..., n) mà tại đó đạo hàm bằng 0  hoặc không xác định.

 iii) Sắp xếp các điểm x_i theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

 iv) Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

2. Áp dụng

* Ví dụ: Xét tính đơn điệu của hàm số:

¤ Lời giải:

- TXĐ: D = R

- Ta có: 

- Bảng biến thiên:

→ Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; -1) và (2; +∞) nghịch biến trên khoảng (-1; 2).

B. Bài tập về tính đơn điệu của hàm số

* Bài 1 trang 9 SGK Giải tích 12: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số:

a) y = 4 + 3x – x²

b) y=(1/3)x³ + 3x² - 7x - 2

c) y = x⁴ - 2x² + 3

d) y = -x³ + x² – 5

¤ Lời giải:

a) y = 4 + 3x – x²

- Tập xác định : D = R

 y' = 3 – 2x

 y’ = 0 ⇔ 3 – 2x = 0 ⇔ x = 3/2

- Lập bảng biến thiên:

→ Từ BBT suy ra hàm số đồng biến trong khoảng (-∞; 3/2) và nghịch biến trong khoảng (3/2; +∞).

b) y=(1/3)x³ + 3x² - 7x - 2

- Tập xác định : D = R

 y' = x² + 6x - 7

 y' = 0 ⇔ x = -7 hoặc x = 1

- Lập bảng biến thiên.

→ Từ BBT suy ra hàm số đồng biến trong các khoảng (-∞ ; -7) và (1 ; +∞); nghịch biến trong khoảng (-7; 1).

c) y = x⁴ - 2x² + 3

- Tập xác định: D = R

 y'= 4x³ – 4x.

 y' = 0 ⇔ 4x³ – 4x = 0 ⇔ 4x.(x – 1)(x + 1) = 0

 ⇔ x = 0 hoặc x = 1 hoặc x = -1

- Lập bảng biến thiên.

→ Từ BBT suy ra hàm số nghịch biến trong các khoảng (-∞ ; -1) và (0 ; 1); đồng biến trong các khoảng (-1 ; 0) và (1; +∞).

d) y = -x³ + x² – 5

- Tập xác định: D = R

 y'= -3x² + 2x

 y' = 0 ⇔ -3x² + 2x = 0 ⇔ x.(-3x + 2) = 0

 ⇔ x = 0 hoặc x = 2/3.

→ Từ BBT suy ra hàm số nghịch biến trong các khoảng (-∞; 0) và (2/3; +∞), đồng biến trong khoảng (0; 2/3).

* Bài 3 trang 10 SGK Giải tích 12: Chứng minh rằng hàm số  đồng biến trên khoảng (-1; 1), nghịch biến trên khoảng (-∞; -1) và (1; +∞).

¤ Lời giải:

- TXĐ: D = R

+ Hàm số nghịch biến: ⇔ y’ < 0

⇔ 1 – x² < 0 ⇔ x² > 1

⇔ x ∈ (-∞ ; -1) ∪ (1; +∞).

+ Hàm số đồng biến: ⇔ y’ > 0

⇔ 1 – x² > 0 ⇔ x² < 1

⇔ x ∈ (-1; 1).

→ Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 1) và nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (1; +∞).