Công thức tính độ dài vectơ, tính khoảng cách giữa 2 điểm và công thức tính góc giữa 2 vectơ trong không gian Oxyz - Toán lớp 12

08:09:5704/05/2022

Công thức tính độ dài vectơ, công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm và công thức tính góc giữa 2 vectơ trong không gian Oxyz là những công thức quan trọng các em cần ghi nhớ ở nội dung hình học lớp 12.

Nội dung biết dưới đây sẽ ôn lại các Công thức tính độ dài vectơ, công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm và công thức tính góc giữa 2 vectơ trong không gian Oxyz để các em dễ dàng tham khảo khi cần.

1. Công thức tính độ dài của vectơ trong không gian Oxyz

- Cho vectơ $\small \overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)$ . Ta biết rằng $\small \left | \overrightarrow{a} \right |^2=\overrightarrow{a}^2$ hay $\small \left | \overrightarrow{a} \right |=\sqrt{\overrightarrow{a}^2}$ . Do đó, công thức tính độ dài một vectơ là:

$\small \left | \overrightarrow{a} \right |=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}$

2. Công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian Oxyz

- Trong không gian Oxyz, cho 2 điểm A(x_A; y_A; z_A) và B(x_B; y_B; z_B). Khi đó khoảng cách giữa hai điểm A và B chính là độ dài của vectơ $\small \overrightarrow{AB}$ . Do đó, ta có:

$\small AB=\left | \overrightarrow{AB} \right |$ $\small =\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$

* Ví dụ: Với hệ tọa độ Oxyz trong không gian, cho $\small \overrightarrow{a}$ =(3; 0; 1), $\small \overrightarrow{b}$ =(1; -1; -2), $\small \overrightarrow{c}$ =(2; 1; -1). Hãy tính $\small \overrightarrow{a}$ ( $\small \overrightarrow{b}$ + $\small \overrightarrow{c}$ ) và | $\small \overrightarrow{a}$ + $\small \overrightarrow{b}$ |.

> Lời giải:

- Ta có: $\small \overrightarrow{b}$ + $\small \overrightarrow{c}$ = (1 + 2; -1 + 1; (-2) + (-1)) = (3; 0; -3)

⇒ $\small \overrightarrow{a}$ ( $\small \overrightarrow{b}$ + $\small \overrightarrow{c}$ ) = 3.3 + 0.0 + 1.(-3) = 6

$\small \overrightarrow{a}$ + $\small \overrightarrow{b}$ = (3 + 1; 0 + (-1); 1 + (-2)) = (4; -1; -1)

⇒ | $\small \overrightarrow{a}$ + $\small \overrightarrow{b}$ | = $\small \sqrt{4^2+(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$

3. Công thức tính góc giữa hai vectơ trong không gian Oxyz

- Nếu φ là góc giữa hai vectơ $\small \overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)$ và $\small \overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3)$ với $\small \overrightarrow{a}$ và $\small \overrightarrow{b}$ khác $\small \overrightarrow{0}$ thì $\small cos\varphi =\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left |\overrightarrow{a} \right |.\left | \overrightarrow{b} \right |}$ . Do đó:

$\small cos\varphi =cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$ $\small =\frac{a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}.\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}$

Từ đó, suy ra:

$\small \overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b} \Leftrightarrow a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=0$

* Ví dụ: Tính góc giữa hai vectơ $\small \overrightarrow{a}$ và $\small \overrightarrow{b}$ trong không gian Oxyz biết: $\small \overrightarrow{a}$ =(1;2;3) và $\small \overrightarrow{b}$ =(2;-1;0)

> Lời giải:

- Từ công thức tính góc giữa 2 vectơ ta có:

$\small cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left | \overrightarrow{a} \right |.\left | \overrightarrow{b} \right |}$ $\small =\frac{a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}.\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}$

$\small = \frac{1.2+2.(-1)+3.0}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}.\sqrt{2^2 +(-1)^2+0^2}}=0$

⇒ ( $\small \overrightarrow{a}$ , $\small \overrightarrow{b}$ ) = 90⁰.

Vậy góc giữa 2 vectơ $\small \overrightarrow{a}$ và $\small \overrightarrow{b}$ là 90⁰. (như vậy ta cũng thấy $\small \overrightarrow{a}$ ⊥ $\small \overrightarrow{b}$ )

Trên đây KhoiA.Vn đã giới thiệu với các em Công thức tính độ dài vectơ, công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm và công thức tính góc giữa 2 vectơ trong không gian Oxyz. Hy vọng bài viết giúp các em hiểu rõ hơn. Nếu có câu hỏi hay góp ý các em hãy để lại bình luận dưới bài viết, KhoiA chúc các em thành công.

Công thức tính độ dài vectơ, tính khoảng cách giữa 2 điểm và công thức tính góc giữa 2 vectơ trong không gian Oxyz - Toán lớp 12

Tags

Đánh giá & nhận xét