Các dạng bài tập về bất phương trình logarit và cách giải - Toán lớp 12

15:28:2019/11/2020

Tương tự như bất phương trình mũ, bất phương trình logarit luôn là một trong những dạng bài tập khó đối với nhiều bạn học sinh. Vì vậy để hiểu được nội dung này các em cần hiểu rõ cách giải phương trình logarit.

Vậy bất phương trình logarit có những dạng bài tập nào? cách giải các dạng bất phương trình logarit này ra sao? chúng ta cùng đi hệ thống lại trong bài viết nà và rèn luyện kỹ năng giải toán bất phương trình logarit qua một số bài tập vận dụng.

I. Các dạng toán bất phương trình Logarit

° Dạng 1: Bất phương trình logarit có dạng log_af(x) ≤ log_ag(x)

* Phương pháp giải:

- Để giải bất phương trình logarit dạng log_af(x) ≤ log_ag(x) ta thực các phép biến đổi như sau:

$log_af(x)<log_ag(x)\Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} a>1\\ 0<f(x)<g(x) \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} 0<a<1\\ f(x)>g(x)>0 \end{matrix}\right. \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 0<a\neq 1\\ f(x)>0\\ g(x)>0\\ (a-1)[f(x)-g(x)]<0 \end{matrix}\right.$

* Ví dụ: Giải bất phương trình logarit sau: $log_3(x^2-1)<1-log_{\frac{1}{3}}(x-1)$

* Lời giải:

- Ta có thể thực hiện biến đổi theo 1 trong 2 cách sau:

+ Cách 1: Điều kiện x² - 1>0 và x - 1> 0 ⇔ x > 1.

- Biến đổi bất phương trình logarit về dạng:

log₃(x² - 1) < 1 + log₃(x - 1) ⇔ log₃(x² - 1) < log₃3(x - 1)

⇔ x² - 1 < 3(x - 1) ⇔ x² - 3x + 2 < 0 ⇔ (x - 1)(x - 2) < 0 ⇔ 1 < x < 2.

Kết hợp với điều kiện x > 1 ta nhận được tập nghiệm của BPT là: (1;2)

+ Cách 2: Bất phương trình biến đổi tương đương về dạng:

log₃(x² - 1) < 1 + log₃(x - 1) ⇔ log₃(x² - 1) < log₃3(x - 1)

$\Leftrightarrow 0<x^2-1<3(x-1)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^1-1>0\\ x^2-3x+2<0 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} |x|>1\\ 1<x<2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow 1<x<2$

Kết luận: Vậy tập nghiệm của bất phương trình logarit trên là:S=(1;2)

° Dạng 2: Bất phương trình logarit có dạng log_af(x) < b.

* Phương pháp giải:

- Để giải bất phương trình logarit dạng log_af(x) ≤ b ta thực các phép biến đổi như sau:

$log_af(x)<b\Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} a>1\\ 0<f(x)<a^b \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} 0<a<1\\ f(x)>a^b \end{matrix}\right. \end{matrix} \right.$

* Ví dụ: Giải bất phương trình logarit sau: $log_{\frac{1}{3}}(x^2-6x+18)+2log_3(x-4)<0$

* Lời giải:

- Điều kiện: $\left\{\begin{matrix} x^2-6x+18>0\\ x-4>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x-3)^2+9>0\\ x>4 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x>4$

- Biến đổi tương đương bất phương trình logarit trên về dạng:

-log₃(x² - 6x + 18) + 2log₃(x - 4)<0

⇔ log₃(x - 4)² < log₃(x² - 6x + 18)

⇔ (x - 4)² < (x² - 6x + 18)

⇔ x² - 8x + 16 < x² - 6x + 18

⇔ 2x > - 2 ⇔ x > -1.

Kết luận: Kết hợp với điều kiện x > 4 ta được tập nghiệp của bất phương trình logarit là: x>4.

° Dạng 3: Bất phương trình logarit có dạng log_af(x) > b.

* Phương pháp giải:

- Để giải bất phương trình logarit dạng log_af(x) > b ta thực các phép biến đổi như sau:

$log_af(x)>b\Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} a>1\\ f(x)>a^b \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} 0<a<1\\ 0<f(x)<a^b \end{matrix}\right. \end{matrix} \right.$

* Ví dụ: Giải bất phương trình logarit sau: $log_4(6-2x)\geq 2$

* Lời giải:

- Điều kiện 6-2x>0 ⇔ x < 3.

$log_4(6-2x)\geq 2$ $\Leftrightarrow log_4(6-2x)\geq log_44^2$

$\Leftrightarrow 6-2x\geq 4^2\Leftrightarrow 6-2x\geq 16\Leftrightarrow x\leq -5$

Kết luận: Kết hợp điều kiện, ta có tập nghiệm của bất phương trình logarit là: (-∞; -5]

II. Giải bất phương trình mũ và bất phương trình logarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ

- Các dạng đặt ẩn phụ trong trường hợp này cũng giống như với phương trình mũ và phương trình logarit.

* Ví dụ: Giải bất phương trình mũ sau:

$a)\: 9^x+2.3^{x+1}-16\geq 0$

$b)\: (5+\sqrt{21})^x+(5-\sqrt{21})^x\leq 2^{x+log_25}$

$c)\: 4^{lnx+1}-6^{lnx}-2.3^{lnx^2+2}\leq 0$

* Lời giải:

$a)\: 9^x+2.3^{x+1}-16\geq 0$ (*)

- Ta đặt t = 3^x (điều kiện t>0), khi đó phương trình (*) biến đổi về dạng:

$3^{2x}+6.3^x-16\geq 0\Leftrightarrow t^2+6t-16\geq 0$

$\Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} t\leq -8\: (loai)\\ t\geq 2 \end{matrix} \right.\Leftrightarrow t\geq 2$

Với: $t\geq 2\Leftrightarrow 3^x\geq 2\Leftrightarrow x\geq log_32$

Kết luận: Bất phương trình có tập nghiệm: S=(log₃2;+∞).

$b)\: (5+\sqrt{21})^x+(5-\sqrt{21})^x\leq 2^{x+log_25}$

- Chia 2 vế của bất phương trình cho 2^x, ta được:

$\left (\frac{5+\sqrt{21}}{2} \right )^x+\left (\frac{5-\sqrt{21}}{2} \right )^x\leq 5$ (*)

- Mặt khác, ta thấy: $\left (\frac{5+\sqrt{21}}{2} \right ).\left (\frac{5-\sqrt{21}}{2} \right )=1$

Nêu nếu đặt $t=\left (\frac{5+\sqrt{21}}{2} \right )^x,\: (t> 0)\Rightarrow \left (\frac{5-\sqrt{21}}{2} \right )^x=\frac{1}{t}$

Khi đó, bất phương trình (*) tương đương: $t+\frac{1}{t}\leq 5\Leftrightarrow t^2-5t+1\leq 0$

$\Leftrightarrow \frac{5-\sqrt{21}}{2}\leq t\leq \frac{5+\sqrt{21}}{2}$ $\Leftrightarrow\frac{5-\sqrt{21}}{2}\leq\left ( \frac{5+\sqrt{21}}{2} \right )^x \leq \frac{5+\sqrt{21}}{2}$

$\Leftrightarrow -1\leq x\leq 1$

Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là:S=[-1;1]

$c)\: 4^{lnx+1}-6^{lnx}-2.3^{lnx^2+2}\leq 0$

- Điều kiện: x>0

- Biến đổi bất phương trình về dạng: $4.4^{lnx}-6^{lnx}-18.3^{lnx^{2}}\leq 0$ (*)

- Chia 2 vế của (*) cho 3^2lnx > 0 ta được: $4\left ( \frac{2}{3} \right )^{2lnx}-\left ( \frac{2}{3} \right )^{lnx}-18\leq 0$

- Ta đặt $t=\left ( \frac{2}{3} \right )^{lnx$ điều kiện t > 0. Bất phương trình được đưa về dạng

$4t^2-t-18\leq 0\Leftrightarrow -2\leqslant t\leqslant \frac{9}{4}$ kết hợp điều kiện t>0 ta được

$0<t\leq \frac{9}{4}\Leftrightarrow 0< \left ( \frac{2}{3} \right )^{lnx}\leq \frac{9}{4}$ $\Leftrightarrow \left ( \frac{2}{3} \right )^{lnx}\leq \left ( \frac{2}{3} \right )^{-2}\Leftrightarrow lnx\geq -2\Leftrightarrow x\geq e^{-2}$

Kết luận: Bất phương trình có tập nghiệm là: S=[e^-2;+∞)

Tóm lại, với 3 dạng bài tập cơ bản trên về bất phương trình logarit và cách giải cụ thể của các dạng này, KhoiA.Vn hy vọng giúp các em hiểu rõ hơn. Và về cơ bản, các em có thể giải quyết được các bài toán về bất phương trình logarit khi gặp trong đề thi tốt nghiệp THPT quốc gia. Chúc các em nhiều thành công

Các dạng bài tập về bất phương trình logarit và cách giải - Toán lớp 12

Tags

Đánh giá & nhận xét