Bài tập đường tiệm cận của đồ thị hàm số có đáp án lời giải - Toán giải tích 12 bài 4

15:05:4601/08/2021

Đường tiệm cận đứng là gì? Tiệm cận ngang hay tiệm cận xiên là gì? cách tìm tiệm cận của đồ thị hàm số các em đã được giới thiệu ở nội dung bài viết trước.

Bài này chúng ta sẽ áp dụng các kiến thức đó để giải một số bài tập cơ bản về tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

• Lý thuyết đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, tiệm cận xiên là gì? và cách tìm tiệm cận.

* Bài 1 trang 30 SGK Giải tích 12: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số:

$\small a)\: y=\frac{x}{2-x}$ $\small b)\: y=\frac{-x+7}{x+1}$

$\small c)\: y=\frac{2x-5}{5x-2}$ $\small d)\: y=\frac{7}{x}-1$

> Lời giải:

$\small a)\: y=\frac{x}{2-x}$

- Ta có: $\small \lim_{x\rightarrow 2^-}\frac{x}{2-x}=+\infty ;\: \: \lim_{x\rightarrow 2^+}\frac{x}{2-x}=-\infty$

⇒ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 2.

$\small \lim_{x\rightarrow \pm \infty }\frac{x}{2-x} =\lim_{x\rightarrow \pm \infty }\frac{1}{\frac{2}{x}-1}=-1$

⇒ Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = –1.

$\small b)\: y=\frac{-x+7}{x+1}$

- Ta có: $\small \lim_{x\rightarrow (-1)^-}\frac{-x+7}{x+1}=-\infty ;\: \: \lim_{x\rightarrow (-1)^+}\frac{-x+7}{x+1}=+\infty$

⇒ Đồ thị có tiệm cận đứng là x = –1.

$\small \lim_{x\rightarrow \pm \infty }\frac{-x+7}{x+1}= \lim_{x\rightarrow \pm \infty }\frac{-1+\frac{7}{x}}{1+\frac{1}{x}}=-1$

⇒ Đồ thị có tiệm cận ngang là y = –1.

$\small c)\: y=\frac{2x-5}{5x-2}$

- Ta có: $\small \lim_{x\rightarrow \left ( \frac{2}{5} \right )^+}\frac{2x-5}{5x-2}=-\infty ;\: \: \lim_{x\rightarrow \left ( \frac{2}{5} \right )^-}\frac{2x-5}{5x-2}=+\infty$

⇒ Đồ thị có tiệm cận đứng là x = 2/5.

$\small \lim_{x\rightarrow \pm \infty }\frac{2x-5}{5x-2}= \lim_{x\rightarrow \pm \infty }\frac{2-\frac{5}{x}}{5-\frac{2}{x}}=\frac{2}{5}$

⇒ Đồ thị có tiệm cận ngang là y = 2/5.

$\small d)\: y=\frac{7}{x}-1$

- Ta có: $\small \lim_{x\rightarrow 0^+}\left (\frac{7}{x}-1 \right )=+\infty ;\: \: \lim_{x\rightarrow 0^-}\left (\frac{7}{x}-1 \right )=-\infty$

⇒ Đồ thị có tiệm cận đứng là x = 0 (trục Oy)

$\small \lim_{x\rightarrow \pm \infty }\left (\frac{7}{x}-1 \right )=-1$

⇒ Đồ thị có tiệm cận ngang là y = -1.

* Bài 2 trang 31 SGK Giải tích 12: Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số:

$\small a)\: y=\frac{2-x}{9-x^2}$ $\small b)\: y=\frac{x^2+x+1}{3-2x-5x^2}$

$\small c)\: y=\frac{x^2-3x+2}{x+1}$ $\small d)\: y=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}$

> Lời giải:

$\small a)\: y=\frac{2-x}{9-x^2}$ $\small =\frac{2-x}{(3-x)(3+x)}$

- Ta có:

$\small \lim_{x\rightarrow 3^+}\frac{2-x}{(3-x)(3+x)}=+\infty$

⇒ Đồ thị hàm số có x = 3 là một tiệm cận đứng

$\small \lim_{x\rightarrow -3^+}\frac{2-x}{(3-x)(3+x)}=+\infty$

⇒ Đồ thị hàm số có x = -3 là một tiệm cận đứng khác

$\small \lim_{x\rightarrow \pm \infty }\frac{2-x}{9-x^2}= \lim_{x\rightarrow \pm \infty }\frac{\frac{2}{x^2}-\frac{1}{x}}{\frac{9}{x^2}-1}=0$

⇒ Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 0.

Vậy đồ thị có hai đường tiệm cận đứng là x = -3 và x = 3; đường tiệm cận ngang là y = 0.

$\small b)\: y=\frac{x^2+x+1}{3-2x-5x^2}$ $\small =\frac{x^2+x+1}{(x+1)(3-5x)}$

- Ta có:

$\small \lim_{x\rightarrow (-1)^+}\frac{x^2+x+1}{(x+1)(3-5x)}=+\infty$

$\small \lim_{x\rightarrow (-1)^-}\frac{x^2+x+1}{(x+1)(3-5x)}=-\infty$

⇒ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = -1.

$\small \lim_{x\rightarrow (\frac{3}{5})^+}\frac{x^2+x+1}{(x+1)(3-5x)}=-\infty$

$\small \lim_{x\rightarrow (\frac{3}{5})^-}\frac{x^2+x+1}{(x+1)(3-5x)}=+\infty$

⇒ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng khác x = 3/5.

$\small \lim_{x\rightarrow \pm \infty }\frac{x^2+x+1}{3-2x-5x^2} =\lim_{x\rightarrow \pm \infty }\frac{1+\frac{1}{x} +\frac{1}{x^2}}{\frac{3}{x^2}-\frac{2}{x}-5}=\frac{-1}{5}$

⇒ Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = -1/5.

Vậy đồ thị có hai đường tiệm cận đứng là x = -1 và x = 3/5 và một tiệm cận ngang là y=-1/5.

$\small c)\: y=\frac{x^2-3x+2}{x+1}$

- Ta có:

$\small \lim_{x\rightarrow (-1)^-}\frac{x^2-3x+2}{x+1}=-\infty$ ; $\small \lim_{x\rightarrow (-1)^+}\frac{x^2-3x+2}{x+1}=+\infty$

⇒ Đường thẳng x = -1 là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

$\small \lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{x^2-3x+2}{x+1}= \lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{1-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}}{\frac{1}{x} +\frac{1}{x^2}}=+\infty$

$\small \lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{x^2-3x+2}{x+1}= \lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{1-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}}{\frac{1}{x} +\frac{1}{x^2}}=-\infty$

Nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

$\small d)\: y=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}$

- Ta có:

$\small \lim_{x\rightarrow 1^-}\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=-\infty$

⇒ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 1.

$\small \lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}= \lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}{1-\frac{1}{\sqrt{x}}}=1$

⇒ Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 1.

Trên đây là phần hướng dẫn giải một số bài tập về đường tiệm cận, tìm đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Hy vọng qua nội dung bài tập này cùng với lý thuyết các em đã hiểu rõ khối kiến thức đường tiệm cận và áp dụng tốt khi gặp các bài toán liên quan.

Bài tập đường tiệm cận của đồ thị hàm số có đáp án lời giải - Toán giải tích 12 bài 4

Tags

Đánh giá & nhận xét