Cách giải phương trình tích? Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu? lớp 9 CTST

1. Cách giải phương trình tích

Muốn giải phương trình (a₁x + b₁)(a₂x + b₂) = 0, ta giải hai phương trình a₁x + b₁ = 0 và a₂x + b₂ = 0, rồi lấy tất cả các nghiệm của chúng.

* Ví dụ 1. Giải các phương trình tích sau:

a) 5x(x – 11) = 0;

b) (x + 6)(3x – 1) = 0.

Lời giải:

a) Ta có 5x(x – 11) = 0

5x = 0 hoặc x – 11 = 0

x = 0 hoặc x = 11.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 0 và x = 11.

b) Ta có (x + 6)(3x – 1) = 0

x + 6 = 0 hoặc 3x – 1 = 0

x = –6 hoặc 3x = 1

x = –6 hoặc x = 1/3

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = –6 và x = 1/3.

* Chú ý: Trong nhiều trường hợp, để giải một phương trình, ta biến đổi để đưa phương trình đó về phương trình tích.

* Ví dụ 2. Giải các phương trình sau bằng cách đưa về phương trình tích:

a) x² – 2x = 0;

b) (2x + 1)² – 9x² = 0.

Lời giải:

a) Ta có x² – 2x = 0

x(x – 2) = 0

x = 0 hoặc x – 2 = 0

x = 0 hoặc x = 2.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 0 và x = 2.

b) Ta có (2x + 1)² – 9x² = 0

(2x + 1)² – (3x)² = 0

(2x + 1 + 3x)(2x + 1 – 3x) = 0

(5x + 1)(–x + 1) = 0

5x + 1 = 0 hoặc –x + 1 = 0

5x = –1 hoặc –x = –1

x = -1/5 hoặc x = 1.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = -1/5 và x = 1.

2. Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu (quy về phương trình bậc nhất)

2.1. Điều kiện xác định của phương trình

Đối với phương trình chứa ẩn ở mẫu, điều kiện của ẩn để tất cả các mẫu thức trong phương trình đều khác 0 gọi là điều kiện xác định của phương trình.

* Ví dụ 3. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau:

a) 

b) 

Lời giải:

a) 

Ta có: x + 7 ≠ 0 khi x ≠ –7 và x – 5 ≠ 0 khi x ≠ 5

Vậy, điều kiện xác định của phương trình là: x ≠ –7 và x ≠ 5.

b) 

Ta có: 3x – 2 ≠ 0 khi x ≠ 2/3 và x + 2 ≠ 0 khi x ≠ –2

Vậy, điều kiện xác định của phương trình là: x ≠ 2/3 và x ≠ –2.

* Nhận xét: Những giá trị của ẩn không thỏa mãn điều kiện xác định không thể là nghiệm của phương trình.

2.2. Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

+ Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình.

+ Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai vế của phương trình, rồi khử mẫu.

+ Bước 3. Giải phương trình vừa nhận được.

+ Bước 4. Xét mỗi giá trị tìm được ở Bước 3, giá trị nào thỏa mãn điều kiện xác định thì đó là nghiệm của phương trình đã cho.

* Ví dụ 4. Giải các phương trình chứa ẩn ở mẫu sau:

a) 

b) 

Lời giải:

a) 

Điều kiện xác định: x ≠ –5

2(x + 6) = 2(x + 5)

2x + 12 = 2x + 10

12 = 10 (vô lí)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

b) 

Điều kiện xác định: x ≠ 2 và x ≠ 3

Khi đó, ta có:

2(x – 3) – 3(x – 2) = 3x – 20

2x – 6 – 3x + 6 = 3x – 20

4x = 20

x = 5 (thỏa ĐKXĐ)

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 5.