Bất đẳng thức là gì? Tính chất của bất đẳng thức? lớp 9 CTST

1. Khái niệm bất đẳng thức

Hệ thức dạng a > b (hay a < b, a ≥ b, a ≤ b), được gọi là bất đẳng thức và a được gọi là vế trái, b được gọi là vế phải của bất đẳng thức.

* Ví dụ 1: Hãy chỉ ra bất đẳng thức diễn tả số x nhỏ hơn hoặc bằng 5. Vế trái, vế phải của bất đẳng thức đó là gì?

Lời giải:

Để diễn tả số số a nhỏ hơn hoặc bằng 5, ta có bất đẳng thức x ≤ 5. Khi đó x là vế trái, 5 là vế phải của bất đẳng thức.

2. Tính chất của bất đẳng thức

2.1. Tính chất bắc cầu

Cho ba số a, b, c. Nếu a > b và b > c thì a > c (tính chất bắc cầu).

* Ví dụ 2. Nếu u > 6 và 6 > v thì theo tính chất bắc cầu, ta suy ra u > v.

* Chú ý: Tính chất bắc cầu vẫn đúng với các bất đẳng thức có dấu <, ≥ , ≤ .

* Ví dụ 3. So sánh hai số a và b, biết a ≥ 3,5 và b ≤ 3,5.

Lời giải:

Ta có b ≤ 3,5 hay 3,5 ≥ b.

Do a ≥ 3,5 và 3,5 ≥ b nên theo tính chất bắc cầu, ta suy ra a ≥ b.

2.2. Tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép cộng

Khi cộng một số vào cả hai vế của một bất đẳng thức thì được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

Cho ba số a, b và c. Nếu a > b thì a + c > b + c.

* Chú ý: Tính chất này vẫn đúng với các bất đẳng thức có dấu <, ≥ , ≤ .

* Ví dụ 4: Cho hai số m và n thỏa mãn m ≤ n. Chứng tỏ m + 5 ≤ n + 7.

Lời giải:

Cộng 5 vào hai vế của bất đẳng thức m ≤ n, ta được:

m + 5 ≤ n + 5. (1)

Cộng n vào hai vế của bất đẳng thức 5 ≤ 7, ta được:

5 + n ≤ 7 + n hay n + 5 ≤ n + 7. (2)

Từ (1) và (2) suy ra m + 5 ≤ n + 7 (tính chất bắc cầu).

2.3. Tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

• Khi nhân hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương thì được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

• Khi nhân hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm thì được một bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.

• Cho ba số a, b và c và a > b.

− Nếu c > 0 thì a . c > b . c;

− Nếu c < 0 thì a . c < b . c.

* Chú ý: Tính chất này vẫn đúng với các bất đẳng thức có dấu <, ≥ , ≤.

* Ví dụ 5: Cho hai số a, b thỏa mãn a² > b² > 0. Chứng tỏ −3a² < −2b².

Lời giải:

Nhân hai vế của bất đẳng thức a² > b² với (−3), ta được:

−3a² < −3b². (1)

Vì b² > 0 nên khi nhân hai vế của bất đẳng thức −3 < −2 với b² ta được:

−3b² < −2b². (2)

Từ (1) và (2) suy ra −3a² < −2b² (tính chất bắc cầu).