Cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng Toán lớp 9

Bài viết này trình bày chi tiết hướng dẫn cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng Toán lớp 9, nhằm giúp các em học sinh ôn tập, vận dụng chứng minh 3 điểm thẳng hàng dễ dàng.

1. Cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng Toán lớp 9

• Cách 1: 

Sử dụng hai góc kề bù có ba điểm nằm trên hai cạnh là hai tia đối nhau.

• Cách 2: 

Hai đường thẳng cùng đi qua hai trong ba điểm ấy cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba

• Cách 3: 

 Hai đường thẳng cùng đi qua hai trong ba điểm ấy cùng song song với đường thẳng thứ ba

• Cách 4: 

Sử dụng tính chất đường phân giác của một góc, tính chất đường trung trực của đoạn thẳng, tính chất ba đường cao của tam giác.

2. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng Toán 9 qua ví dụ

* Ví dụ 1: Cho nửa đường đường tròn (O; R), đường kính AB. Một điểm M cố định thuộc đoạn thẳng OB (M khác B và M khác O). Đường thẳng d vuông góc với AB tại M cắt nửa đường tròn đã cho tại N. Trên cung NB lấy điểm E bất kì (E khác B và E khác N). Tia BE cắt đường thẳng d tại C, đường thẳng AC cắt nửa đường tròn tại D. Gọi H là giao điểm của AE và đường thẳng d.

a) Chứng minh tứ giác BMHE nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh ba điểm B, D, H thẳng hàng.

* Lời giải:

Ta có hình vẽ sau:

a) Ta có:  (gỉa thiết)

(góc nột tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét tứ giác HEBM ta có  ở vị trí đối nhau và 

Vậy tứ giác HEBM nội tiếp đường tròn.

b) Xét ΔCAB có AE ⊥ CB nên AE là đường cao trong ΔCAB.

CA ⊥ BD (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒ BD là đường cao trong ΔCAB

Ta có BD giao với AE tại H nên H là trực tâm của ΔCAB.

⇒ B, H, D thẳng hàng.

* Ví dụ 2: Cho tam giác ABC đều, nội tiếp đường tròn tâm O. AO, BO, CO cắt các cạnh của tam giác lần lượt tại D, E, F. I là giao điểm của hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O). Chứng minh ba điểm C, F, I thẳng hàng.

* Lời giải:

Ta có hình vẽ sau:

Xét ΔABC đều nên F là trung điểm của AB và CO ⊥ AB.

⇒ CF là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Xét ∆AOI và ∆BOI có:

OA = OB = r

Cạnh OI chung

Nên: ∆AOI = ∆BOI (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Khi đó IA = IB hay I nằm trên đường trung trực của AB.

⇒ Ba điểm C, F, I thẳng hàng.

* Ví dụ 3: Cho tam giác ABC, G là trọng tâm, H là trực tâm, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Chứng minh ba điểm G, H, O là ba điểm thẳng hàng.

* Lời giải:

Ta có hình vẽ sau:

Gọi I là trung điểm của BC, D nằm trên (O) sao cho AD là đường kính.

Ta có 

Xét tứ giác BHCD ta có :

• BH // DC (cùng ⊥ AC)

• CH // DB (cùng ⊥ AB)

Nên tứ giác BHCD là hình bình hành .

Khi đó H, I, D thẳng hàng và IH = ID.

Ta lại có :

• OI = AH/2 (OI là đường trung bình ΔDAH) (1)

• GI = GA/2 (2)

•  (so le trong) (3)

⇒ ∆GAH đồng dạng ∆GIO (c.g.c)

Khi đó

Nên  và  là hai góc đối đỉnh

⇒ Ba điểm H, G, O thẳng hàng.

3. Bài tập Chứng minh 3 điểm thẳng hàng Toán 9

* Bài tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy B làm tâm, vẽ đường tròn bán kính BA, lấy điểm C làm tâm, vẽ đường tròn bán kính AC. Hai đường tròn này cắt nhau tại điểm thứ hai là D. Vẽ AM và AN lần lượt là các dây cung của đường tròn (B) và (C) sao cho AM vuông góc với AN và D nằm giữa M và N. Chứng minh ba điểm M, D, N thẳng hàng.

* Bài tập 2: Cho đường tròn (O). Tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn có trực tâm H. Điểm K di chuyển trên cung nhỏ BC. Vẽ các điểm M, N đối xứng với K qua AC và AB. Chứng minh ba điểm M, H, N thẳng hàng.

* Bài tập 3: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Điểm M bất kỳ trên cung nhỏ BC. Gọi E, F thứ tự là các điểm đối xứng của M qua AB, AC. Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng E, H, F thẳng hàng.

* Bài tập 4: Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Tứ giác ABCD có các đỉnh nằm trên đường tròn. E là giao điểm của AB và DC, F là giao điểm của AD và BC. Cho AE > BE, AF > DF. Đường tròn ngoại tiếp tam giác EBC cắt EF tại K khác E. Gọi H là giao điểm của AC và BD. Chứng minh ba điểm O, H, K thẳng hàng.