Bài 7.35 trang 59 Toán 10 Kết nối tri thức Tập 2

Bài 7.35 trang 59 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho elip (E):  (a > b > 0)

a) Tìm các giao điểm A₁, A₂ của (E) với trục hoành và các giao điểm B₁, B₂ của (E) với trục tung. Tính A₁A₂,  B₁B₂.

b) Xét một điểm bất kì M(x₀; y₀) thuộc (E).

Chứng minh rằng, b² ≤ x₀² + y₀² ≤ a² và b ≤ OM ≤ a. 

Chú ý: A₁A₂, B₁B₂ tương ứng được gọi là trục lớn, trục nhỏ của elip (E) và tương ứng có độ dài là 2a, 2b. 

Giải bài 7.35 trang 59 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức:

a) Tìm các giao điểm A₁, A₂ của (E)

• Có A₁ thuộc trục hoành Ox nên y = 0,

hơn nữa A₁ lại thuộc (E) nên 

⇔ x² = a². 

Chọn A₁ nằm bên trái trục Oy nên có hoành độ âm. Vậy tọa độ A₁(– a; 0).

Chọn A₂ nằm bên phải trục Oy nên có hoành độ dương. Vậy tọa độ A₂(a; 0).

Nên độ dài  (vì a > 0).

• B₁ thuộc trục tung Oy nên x = 0 ,

hơn nữa B₁ lại thuộc (E) nên 

⇔ y² = b².

Chọn B₁ nằm phía dưới trục Ox nên có tung độ âm. Vậy tọa độ B₁(0; – b).

Chọn B₂ nằm phía trên trục Ox nên có tung độ dương. Vậy tọa độ B₂(0; b).

Nên độ dài  (vì b > 0).

Vậy A₁A₂ = 2a, B₁B₂ = 2b. 

b) Vì M(x₀; y₀) thuộc (E) nên ta có tọa độ điểm M thỏa mãn phương trình (E), do đó: 

• Giả sử b² ≤ x₀² + y₀², chia cả hai vế cho b² > 0 ta được: 

Vì a > b > 0 nên a² > b² > 0, và x₀² ≥ 0 với mọi x₀ nên  luôn đúng. 

Vậy b² ≤ x₀² + y₀². 

• Chứng minh tương tự ta được: x₀² + y₀² ≤ a². 

Vậy b² ≤ x₀² + y₀² ≤ a²     (*).

• Ta lại có: 

Từ (*) ta suy ra: 

⇒ b ≤ OM ≤ a.