Bài 7 trang 45 SGK Toán 10 tập 2 Chân trời sáng tạo

16:22:4708/02/2023

Cho tam giác ABC có các điểm M(2; 2), N(3; 4), P(5; 3) lần lượt là trung điểm...

Bài 7 trang 45 SGK Toán 10 tập 2 Chân trời sáng tạo: Cho tam giác ABC có các điểm M(2; 2), N(3; 4), P(5; 3) lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC và CA.

a) Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.

b) Chứng minh rằng trọng tâm của tam giác ABC và MNP trùng nhau.

c) Giải tam giác ABC.

Giải bài 7 trang 45 SGK Toán 10 tập 2 Chân trời sáng tạo:

Ta có, hình minh hoạ như sau:

Giải bài 7 trang 45 SGK Toán 10 tập 2 Chân trời sáng tạo

Các công thức cần nhớ:

+ Toạ độ trung điểm M của AB là:

$\small M=(x_M;y_M)=\left ( \frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2} \right )$

+ Toạ độ trọng tâm của tam giác ABC là:

$\small G=(x_G;y_G)=\left ( \frac{x_A+x_B+x_C}{3};\frac{y_A+y_B+y_C}{3} \right )$

a) Gọi toạ độ các điểm: A(x_A; y_A), B(x_B; y_B), C(x_C; y_C).

Theo bài ra, M(2; 2) là trung điểm AB nên có:

$\left\{\begin{matrix} x_M=\frac{x_A+x_B}{2}\\ y_M=\frac{y_A+y_B}{2} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2=\frac{4+x_B}{2}\\ 2=\frac{1+y_B}{2} \end{matrix}\right.$

$\dpi{100} \small \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_B=2.2-4=0\\ y_B=2.2-1=3 \end{matrix}\right.\Rightarrow B(0;3)$

Theo bài ra, P(5; 3) là trung điểm AC nên có:

$\left\{\begin{matrix} x_P=\frac{x_A+x_C}{2}\\ y_P=\frac{y_A+y_C}{2} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 5=\frac{x_A+6}{2}\\ 3=\frac{y_A+5}{2} \end{matrix}\right.$

$\dpi{100} \small \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_A=2.5-6=4\\ y_A=2.3-5=1 \end{matrix}\right.\Rightarrow A(4;1)$

Tương tự, N(3; 4) là trung điểm BC nên có:

$\left\{\begin{matrix} x_N=\frac{x_B+x_C}{2}\\ y_N=\frac{y_B+y_C}{2} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3=\frac{0+x_C}{2}\\ 4=\frac{3+y_C}{2} \end{matrix}\right.$

$\dpi{100} \small \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_C=2.3-0=6\\ y_C=2.4-3=5 \end{matrix}\right.\Rightarrow C(6;5)$

Vậy tọa độ các đỉnh của tam giác ABC lần lượt là: A(4; 1), B(0; 3) và C(6; 5).

b) Xét tam giác ABC, có A(4; 1), B(0; 3) và C(6; 5):

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là:

$\left\{\begin{matrix} x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}\\ y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_G=\frac{4+0+6}{3}\\ y_G=\frac{1+3+5}{3} \end{matrix}\right.$

$\small \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_G=\frac{10}{3}\\ y_G=3 \end{matrix}\right.\Rightarrow G\left ( \frac{10}{3};3 \right )$ (1)

+ Xét tam giác MNP, có M(2; 2), N(3; 4), P(5; 3).

Gọi G' là trọng tâm của tam giác MNP.

Khi đó tọa độ trọng tâm của tam giác MNP là:

$\left\{\begin{matrix} x_{G'}=\frac{x_M+x_N+x_P}{3}\\ y_{G'}=\frac{y_M+y_N+y_P}{3} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{G'}=\frac{2+3+5}{3}\\ y_{G'}=\frac{2+4+3}{3} \end{matrix}\right.$

$\small \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{G'}=\frac{10}{3}\\ y_{G'}=3 \end{matrix}\right.\Rightarrow G'\left ( \frac{10}{3};3 \right )$ (2)

Từ (1) và (2) ta thấy G và G’ trùng nhau.

Vậy tam giác ABC và tam giác MNP trùng trọng tâm.

c) Ta có: $\dpi{100} \small \overrightarrow{AB}=(-4,-2);$ $\dpi{100} \small \overrightarrow{AC}=(2,4);$ $\dpi{100} \small \overrightarrow{BC}=(6,2);$ nên suy ra

$\small AB=|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-4)^2+(-2)^2}=2\sqrt{5}$

$\dpi{100} \small AC=|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{(2)^2+(4)^2}=2\sqrt{5}$

$\dpi{100} \small BC=|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{(6)^2+(2)^2}=2\sqrt{10}$

Áp dụng hệ quả của định lí cosin, ta có:

$\small cosA=cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{AB.AC}$ $\small =\frac{(-4).2+(-2).4}{2\sqrt{5}.2\sqrt{5}}=0\Rightarrow \widehat{A}=90^0$

Do $\small AB=AC=2\sqrt{5}$ nên ∆ABC vuông cân tại A

Suy ra: $\small \widehat{B}=\widehat{C}=45^0$

Vậy tam giác ABC, có:

$\small AB=AC=2\sqrt{5};\: BC=2\sqrt{10}$ và $\small \widehat{A}=90^0;\: \widehat{B}=\widehat{C}=45^0$

Trên đây Khối A đã hướng dẫn các em giải bài 7 trang 45 SGK Toán 10 tập 2 Chân trời sáng tạo. Nếu có câu hỏi hay góp ý các em hãy để lại bình luận dưới bài viết nhé, chúc các em thành công.

• Xem hướng dẫn giải bài tập Trang 44,45 Toán 10 tập 2 SGK Chân trời sáng tạo

> Bài 1 trang 44 SGK Toán 10 tập 2 Chân trời sáng tạo: Trên trục $\small (O;\overrightarrow{e})$ cho các điểm A, B, C, D có tọa độ lần lượt là 4; -1; -5; 0...