Xác định m để hàm số có cực trị - Toán lớp 12

Cách xác định m để hàm số cực trị như thế nào? câu trả lời sẽ được khoia giải đáp và chia sẻ với các em qua bài viết này.

I. Cách xác định m để hàm số có cực trị

Bài toán này ta xét trường hợp hàm số có đạo hàm tại điểm x₀. Khi đó, giải bài toán xác định m để hàm số có cực trị ta làm như sau:

+ Bước 1. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị tại x₀ là y'(x₀) = 0, từ điều kiện này ta tìm được giá trị của tham số m.

+ Bước 2. Kiểm lại bằng cách dùng một trong hai quy tắc tìm cực trị ,để xét xem giá trị của tham số vừa tìm được có thỏa mãn yêu cầu của bài toán hay không?

II. Bài tập minh hoạ cách xác định m để hàm số có cực trị

* Bài tập 1: Cho hàm số y = x³ - 3mx² +(m² - 1)x + 2, m là tham số thực. Xác định m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 2.

> Lời giải:

- TXĐ: D = R.

Ta có: y' = 3x² - 6mx + m² - 1;

 y'' = 6x - 6m.

Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 2 khi và chỉ khi: 

Vậy với m = 1 hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 2.

* Bài tập 2: Tìm các giá trị của m để hàm số y = -x³ + (m + 3)x² - (m² + 2m)x - 2 đạt cực đại tại x = 2.

> Lời giải:

- TXĐ: D = R.

Ta có: y' = -3x² + 2(m + 3)x - (m² + 2m);

y'' = -6x + 2(m + 3).

Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 2 khi và chỉ khi: 

 Vậy với m = 0 hoặc m =2 hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 2.

* Bài tập 3: Cho hàm số: y = mx⁴ + (m² - 9)x² + 10.

Xác định m để hàm số có 3 điểm cực trị.

> Lời giải:

- TXĐ: D = R

Ta có y' = 4mx³ + 2(m² - 9)x = 2x[2mx² + m² - 9]

Để hàm số có 3 cực trị thì y' đổi dấu 3 lần

⇔ y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt

Để y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt thì pt (*) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 0:

⇔ m(m² - 9) < 0  (điều kiện pt bậc 2 có 2 nghiệm phân biệt khác 0 là a.c < 0)

⇔ m < - 3 V 0 < m < 3.

Vậy mới m < - 3 hoặc 0 < m < 3 thì hàm số có 3 điểm cực trị.

* Bài tập 4: Cho hàm số y = 2x³ + 3(m - 1)x² + 6(m - 2)x - 1.

Xác định m để hàm số có cực đại cực tiểu và viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị.

*Đ/số: 

Hàm số có cực đại, cực tiểu: m ≠ -3

Đường thẳng qua 2 điểm cực trị (lấy f(x)/f'(x)): y = -(m-3)²x - (m² - 3m + 3)

* Bài tập 5: Cho hàm số 

Xác định m để hàm số có giá trị cực đại M và giá trị cực tiểu m, sao cho m - M = 4.

*Đ/số: m = 3.