Viết phương trình parabol đi qua các điểm cực trị? Hỏi nhanh đáp gọn môn Toán

Tuy nhiên, vẫn có một số bạn chưa biết cách Viết phương trình parabol đi qua các điểm cực trị như thế nào. Bài viết này sẽ giúp các bạn thấy việc lập phương trình PARABOL đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc 3, bậc 4 trùng phương không hề khó.

Dưới đây là một số ví dụ về Viết phương trình parabol đi qua các điểm cực trị để các bạn tham khảo.

* Ví dụ 1: Viết phương trình parabol đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc 3 (C): y = x³ – 3x² + 4 và tiếp xúc với đường thẳng y = –2x + 2.

* Lời giải:

Hàm số bậc 3: (C): y = x³ – 3x² + 4

y' = 3x² – 6x = 0 ⇔ 3x(x – 2) = 0 

⇔ x = 0 hoặc x = 2

Với x = 0 ⇒ y = 4 ⇒ Điểm cực trị (cực đại) thứ nhất là A(0; 4)

Với x = 2 ⇒ y = 0 ⇒ Điểm cực trị (cực tiểu) thứ hai là B(2; 0)

Vậy ta cần viết phương trình parabol đi qua 2 điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng y = –2x + 2.

Gọi phương trình Parabol (P) là: y = ax² + bx + c (a ≠ 0).

– Vì (P) đi qua A nên có: 4 = a.0² + b.0 + c

⇔ c = 4   (1)

– Vì (P) đi qua B nên có: 0 = a.2² + b.2 + c

⇔ 4a + 2b + c = 0

Từ (1) suy ra: 4a + 2b + 4 = 0 

⇒ b = –2a – 2  (2)

(P) tiếp xúc với đường thẳng y = –2x + 2 khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

Giải hệ suy ra: a = 2 và từ (2) suy ra b = –6

Vậy parabol (P) đi qua các điểm cực trị và tiếp xúc với đường thẳng y = –2x + 2 có phương trình là: y = 2x² – 6x + 4

* Ví dụ 2: Với m > 1, đồ thị hàm số y = x⁴ – 4(m – 1)x² + 2m – 1 có ba điểm cực trị. Viết phương trình của parabol đi qua các điểm cực trị của hàm số bậc 4 trùng phương đã cho.

* Lời giải:

Hàm bậc 4 trùng phương: y = x⁴ – 4(m – 1)x² + 2m – 1

Ta có: y' = 4x³ – 8(m – 1)x

Suy ra:

Do đó, phương trình parabol đi qua các điểm (3 điểm) cực trị là:

y = –2(m – 1)x² + 2m – 1.

* Ví dụ 3: Với m > 0, đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương:  luôn có 3 điểm cực trị. Lập phương trình parabol đi qua các điểm cực trị này và đi qua điểm A(2; 24).

* Lời giải:

Hàm số bậc 4 trùng phương: 

Ta có: y' = x³ – 2mx = 0

⇔ x = 0 hoặc 

Ta có:

Do đó, các điểm cực trị của hàm số thuộc parabol (P):

Vì A(2; 24) thuộc P nên có: 

⇔ m = 6 (vì điều kiện bài ra: m > 0)

Vậy phương trình parabol đi qua các điểm cực trị của hàm bậc 4 trùng phương đã cho là: y = –3x² + 36.