Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C - Toán lớp 10

Nội dung bài viết này sẽ giúp các em biết các bước cơ bản để viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C khi biết tọa độ các điểm này trong mặt phẳng Oxy.

Cho đường tròn (C) đi qua 3 điểm A, B và C. Để viết phương trình đường tròn (C) đi qua 3 điểm A, B, C này ta làm như sau:

° Bước 1: Gọi phương trình đường tròn (C) có dạng: x² + y² - 2ax - 2by + c = 0 (*)

 (với a² + b² - c > 0).

° Bước 2: Do các điểm A, B và C thuộc đường tròn (C) nên ta thay tọa độ các điểm A, B và C  này vào phương trình (*), ta được ba phương trình bậc nhất 3 ẩn là a; b; c.

° Bước 3: Ta giải hệ phương trình ba ẩn a; b; c được các giá trị cụ thể ta thay trở lại phương trình đường tròn.

* Ví dụ 1: Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A(-1; 1), B(3; 1), C(1; 3)

> Lời giải:

- Gọi phương trình đường tròn đi qua 3 điểm đi qua 3 điểm A(-1; 1), B(3; 1), C(1; 3) là (O), thì (O) có dạng:

 x² + y² - 2ax – 2by + c = 0 (với a² + b² – c > 0)

Vì các đỉnh A(-1; 1) ∈ (O) nên ta có: (-1)² + 1 - 2a.(-1) - 2b.(1) + c = 0

 ⇔ 1 + 1 + 2a - 2b + c = 0

 ⇔ 2a - 2b + c = -2 (1)

Vì các đỉnh B(3; 1) ∈ (O) nên ta có: (3)² + 1² - 6a - 2b + c = 0

 ⇔ 9 + 1 - 6a - 2b + c = 0

 ⇔ 6a + 2b - c = 10 (2)

Vì các đỉnh C(1; 3) ∈ (O) nên ta có: 1² +3² - 2a - 6b + c = 0

 ⇔ 1 + 9 - 2a - 6b + c =0

 ⇔ 2a + 6b - c = 10 (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ: 

Giải hệ lập từ (1), (2) và (3) ta được:

 a = 1; b = 1; c = -2;

Vậy phương trình đường tròn (C) là:

 x² + y²  – 2x - 2y - 2 = 0

* Ví dụ 2: Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A(1; 2), B(5; 2), C(1; -3)

> Lời giải:

- Gọi đường tròn đi qua 3 điểm A(1; 2), B(5; 2), C(1; -3) là (O) thì PT (O) có dạng.

 x² + y² - 2ax - 2by + c = 0 (với a² + b² - c > 0)

Do ba điểm A(1; 2), B(5; 2), C(1; -3) thuộc đường tròn nên ta có:

Vậy phương trình đường tròn (O) đi qua 3 điểm A(1; 2), B(5; 2), C(1; -3) là:

 x² + y² - 6x + y - 1 = 0

* Ví dụ 3: Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A(2; 1); B(3; 4) và C(-1; 2).

> Lời giải:

- Gọi đường tròn đi qua 3 điểm A, B và C là (O) có dạng:

 x² + y² - 2ax - 2by + c = 0 (với a² + b² - c > 0)

Do ba điểm A(2; 1); B(3; 4) và C(-1; 2) thuộc đường tròn nên ta có:

Vậy phương trình đường tròn (O) đi qua 3 điểm A, B và C là:

 x² + y² - 2x - 6y + 5 = 0

* Ví dụ 4: Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm O(0; 0), A(a; 0), B(0; b)

* Lời giải:

- Gọi đường tròn đi qua 3 điểm O(0; 0), A(a; 0), B(0; b) là (C) có dạng:

 x² + y² - 2mx - 2ny + p = 0 (với a² + b² - c > 0)

Do ba điểm 3 điểm O(0; 0), A(a; 0), B(0; b) thuộc đường tròn nên ta có:

Vậy phương trình đường tròn (C) là:

  x² + y² - ax - by = 0

* Cách giải khác:

- Ta có O(0; 0), A(a; 0), B(0; b) nên OA ⊥ OB

Nên tâm I của đường tròn (C) là trung điểm của AB (AB là cạnh huyền của tam giác vuông OAB) nên có: I(a/2;b/2);

Bán kính 

Nên PT đường tròn (C) tâm I bán kính R có dạng: 

⇒ (C): x² + y² - ax - by = 0.