Viết phương trình đường thẳng qua 1 điểm và cắt 2 đường thẳng và bài tập - Toán lớp 12

Nội dung bài viết này Khối A.Vn sẽ hướng dẫn các em cách viết phương trình đường thẳng qua 1 điểm và cắt 2 đường thẳng trong không gian Oxyz có ví dụ minh họa để các em hiểu rõ, dễ dàng ghi nhớ phương pháp và vận dụng.

I. Cách viết phương trình đường qua 1 điểm và cắt 2 đường thẳng trong không gian Oxyz

Để viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A và cắt hai đường thẳng (d₁), (d₂) ta có thể chọn 1 trong 3 cách sau: (Vectơ pháp tuyến (VTPT); Vectơ chỉ phương (VTCP)).

> Cách giải 1: 

¬ Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d₁.

¬ Bước 2: Tìm giao điểm B = (α) ∩ (d₂)

¬ Bước 3: Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm A, B.

> Cách giải 2:

¬ Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d₁.

¬ Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng (β) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d₂.

¬ Bước 3: Đường thẳng cần tìm d = (α) ∩ (β)

> Cách giải 3:

¬ Bước 1: Tìm toạ độ giao điểm B của d với d₁ và C của d với d₂

¬ Bước 2: Từ điều kiện 3 điểm thẳng hàng tính được toạ độ B, C

¬ Bước 3: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua 2 điểm

II. Bài tập minh họa viết phương trình đường qua 1 điểm và cắt 2 đường thẳng trong không gian Oxyz

* Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng Δ biết Δ đi qua điểm A(1;1;2) và cắt cả 2 đường thẳng d₁:  và d₂ : 

> Lời giải:

Gọi B, C lần lượt là các điểm và Δ cắt d₁ và d₂, ta có toạ độ B(1+t;-t;0) và C(0;0;2+s)

Suy ra:  và 

Để A, B, C thẳng hàng (cùng nằm trên đường thẳng) thì

Giải hệ được s = -4; t= -1/2; k = 1/2;

 Vậy phương trình đường thẳng (Δ) đi qua A(1;1;2) và C(0;0;-2) có phương trình chính tắc là:

Các em có thể vận dụng cách cách còn lại để viết phương trình đường thẳng Δ.

* Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(1;-2;3) và cắt hai đường thẳng d₁:  và d₂: 

> Lời giải:

+ Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A(1;-2;3) và chứa d₁

Đường thẳng d₁ đi qua điểm B(2;1;-1) và có vectơ chỉ phương:

Ta có:

Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là:

+ Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua A(1;-2;3) và chứa d₂

Đường thẳng d₂ qua C(-1;3;-2) và có vectơ chỉ phương:

Ta có: 

Mặt phẳng (Q) có một vectơ pháp tuyến là:

Suy ra, đường thẳng (d) có một vectơ chỉ phương là:

Vậy phương trình đường thẳng (d) là: