Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng trong không gian Oxyz - Toán lớp 12

Nội dung bài viết này Khối A sẽ hướng dẫn các em cách viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng trong không gian Oxyz (viết phương trình giao tuyến của 2 mặt phẳng trong Oxyz) có ví dụ minh họa để các em hiểu rõ, dễ dàng ghi nhớ phương pháp và vận dụng.

I. Cách viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng trong không gian Oxyz

Để viết phương trình đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (∝) và (β) ta thực hiện một trong các 3 cách sau: (Vectơ pháp tuyến (VTPT); Vectơ chỉ phương (VTCP)).

- Cho hai mặt phẳng: mp(∝): Ax + By + Cz + D = 0

 và mp(β): A'x + B'y + C'z + D' = 0;

** Cách giải 1:

• Bước 1: Giải hệ   ta tìm 1 nghiệm (x₀;y₀;z₀) bằng cách cho 1 trong 3 ẩn 1 giá trị xác định, rồi giải hệ tìm giá trị 2 ẩn còn lại, ta được 1 điểm M₀(x₀;y₀;z₀) ∈ (d).

• Bước 2: Đường thẳng (d) có vectơ chỉ phương là: 

• Bước 3: Viết phương trình đường thẳng (d) qua M₀ và có VTCP .

** Cách giải 2: 

• Bước 1: Tìm toạ độ 2 điểm A, B ∈ (d). Tức là tìm 2 nghiệm của hệ 2 phương trình trên.

• Bước 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A và B.

** Cách giải 3:

• Đặt 1 trong 3 ẩn bằng t (chẳng hạn x = t), giải hệ 2 phương trình với 2 ẩn còn lại theo t rồi suy ra phương trình tham số của d.

II. Ví dụ viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng trong không gian Oxyz

* Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng (d) là giao tuyến của 2 mặt phằng (P): 2x + y - z - 3 = 0 và (Q): x + y + z - 1 = 0.

> Lời giải:

* Giải theo cách 1: 

- Ta sẽ tìm 1 điểm nằm trên (d) là nghiệm của hệ phương trình: 

- Ta cho z = 0 ⇒ x = 2 và y = - 1 ⇒ M(2;-1;0) ∈ (d).

- Vectơ pháp tuyến của mp(P) là: 

- Vectơ pháp tuyến của mp(Q) là: 

- Vectơ chỉ phương của (d) là: 

Phương trình đường thẳng (d) qua M(2;-1;0) có VTCP  có phương trình tham số là:

* Giải theo cách 2:

Ta sẽ tìm 2 điểm A, B nằm trên (d) là nghiệm của hệ phương trình:

- Cho z = 0; rồi giải hệ phương trình

 ⇒ x = 2 và y = - 1 ⇒ A(2;-1;0) ∈ (d).

- Cho z = 1; rồi giải hệ phương trình

 ⇒ x = 4 và y = - 4 ⇒ B(4;-4;1) ∈ (d).

⇒ Phương trình đường thẳng (d) đi qua A(2;-1;0) và có VTCP  có phương trình chính tắc là: 

hay có thể viết phương trình tham số của (d) là: 

* Giải theo cách 3:

- Điểm M(x;y;z) ∈ (d) khi tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

Đặt z = t khi đó, ta có: 

Vậy phương trình tham số của (d) là: 

* Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): x + y - z - 2 = 0 và (Q): 2x + 3y - z = 0.

> Lời giải:

* Giải theo cách 3:

- Điểm M(x;y;z) ∈ (d) khi tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

Đặt z = t khi đó, ta có: 

Vậy phương trình tham số của (d) là: 

Các bạn có thể vận dụng và giải theo cách 1, cách 2 tương tự ví dụ 1

* Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; Viết phương trình đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (α): x - 3y + z = 0 và (β): x + y - z + 4 = 0

* Lời giải:

Ta sẽ tìm 2 điểm A, B nằm trên (d) là nghiệm của hệ phương trình:

- Cho y = 0 rồi giải hệ phương trình: 

⇒ x = -2 và z = 2 ⇒ A(-2;0;2) ∈ (d).

- Cho y = 1 rồi giải hệ phương trình: 

 ⇒ x = -1 và z = 4 ⇒ B(-1;1;4) ∈ (d).

⇒ Phương trình đường thẳng (d) đi qua A(-2;0;2) và có VTCP:  có phương trình chính tắc là:

hoặc có thể viết pt tham số của (d):