Viết đường tròn nội tiếp tam giác ABC biết tọa độ 3 điểm - Toán lớp 10

21:05:5528/06/2022

Là một trong những dạng toán viết phương trình đường tròn, viết đường tròn nội tiếp tam giác ABC biết tọa độ 3 điểm là một trong những dạng toán mang tính vận dụng cao khi phải viết phương trình đường phân giác trong của tam giác.

Nội dung bài viết này sẽ giúp các em biết các bước cơ bản để viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác A, B, C khi biết tọa độ 3 điểm A, B, C.

I. Cách viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác A, B, C biết tọa độ 3 điểm

Để viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác A, B, C biết tọa độ 3 điểm các em thực hiện các bước sau:

* Bước 1: Viết phương trình hai đường phân giác trong góc A và B

* Bước 2: Tìm tạo độ tâm I là giao điểm của hai đường phân giác trong ở trên

* Bước 3: Tính khoảng cách từ tâm I tới một cạnh của tam giác ta được bán kính R đường tròn

* Bước 4: Viết phương trình đường tròn tâm I bán kính R

> Lưu ý: Còn có các phương pháp giải khác, tuy nhiên đây là phương pháp hay dùng nhất, có thể nói là tốt nhất.

II. Ví dụ Cách viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác A, B, C biết tọa độ 3 điểm

* Ví dụ 1: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC biết: A(11;-7), B(23;9), C(-1;2).

* Lời giải:

- Từ tọa độ các điểm A(11;-7), B(23;9), C(-1;2), ta viết được phương trình các cạnh như sau:

Phương trình cạnh AB (dạng chính tắc):

$\small \frac{x-11}{23-11}=\frac{y+7}{9+7}\Leftrightarrow \frac{x-11}{12}=\frac{y+7}{16}$

$\small \dpi{100} \small \Leftrightarrow 4x-3y-65=0$ (dạng tổng quát)

Tương tự có phương trình AC là: 3x + 4y - 5 =0

Phương trình cạnh BC là: 7x - 24y + 55 = 0

- Phương trình đường phân giác góc tạo bởi BA và BC là:

$\small \frac{\left |4x-3y-65 \right |}{\sqrt{4^2+(-3)^2}}=\pm \frac{\left | 7x-24y+55 \right |}{\sqrt{7^2+(-24)^2}}$

$\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} d_1:\: 12x+9y-380=0\\ d_2:\: 9x-13y-90=0 \end{matrix} \right.$

Xét vị trí tương đối của 2 điểm A, C so với đường thẳng d₁ (thay tạo độ điểm A và C vào phương trình đường thẳng d₁)

t_A = 13x_A + 9y_A - 380 = -300

t_C = 13x_C + 9y_C - 380 = -385

Ta có: t_A.t_C > 0 suy ra, A và C cùng phía so với d₁

Vậy d₁ là đường phân giác ngoài của góc B, suy ra d₂ là phân giác trong của góc B.

- Tương tự ta có: 7x + y - 70 là đường phân giác trong của góc A.

Khi đó, tọa độ tâm I là nghiệm của hệ:

$\small \left\{\begin{matrix} 9x-13y-90=0\\ 7x+y-70=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=10\\ y=0 \end{matrix}\right.$

Vậy đường tròn nội tiếp có tâm I(10;0)

Bán kính đường tròn nội tiếp:

$\small r=d(I,AB)=\frac{|4.10-3.0-65|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}}=\frac{25}{5}=5$

Vậy phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC là:

(x - 10)² + y² = 25

* Ví dụ 2: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC với A(2;6), B(-3;-4), C(5;0)

* Lời giải:

- Tương tự ví dụ 1, ta viết được phương trình các cạnh như sau:

Ở ví dụ này, ta viết phương trình các cạnh theo vectơ pháp tuyến, ta có:

$\small \overrightarrow{AB}=(-5;-10)\Rightarrow \overrightarrow{n}_{AB}=(10;-5)=5(2;-1)$

$\small \overrightarrow{BC}=(8;4)\Rightarrow \overrightarrow{n}_{BC}=(4;-8)=4(1;-2)$

$\small \overrightarrow{AC}=(3;-6)\Rightarrow \overrightarrow{n}_{AC}=(6;3)=3(2;1)$

PT cạnh AB: 2(x - 2) - (y - 6) = 0

⇔ 2x - y + 2 = 0

Tương tự PT cạnh BC: x - 2y - 5 = 0

PT cạnh AC: 2x + y - 10 = 0

Phương trình đường phân giác góc A (cạnh AB, AC):

$\small \frac{|2x-y+2|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\pm \frac{|2x+y-10|}{\sqrt{2^2+1^2}}$ $\small \Leftrightarrow \left \[ \begin{matrix} d_1:\: y-6=0\\ d_2:\: x-2=0 \end{matrix}\right.$

Xét vị trí tương đối của 2 điểm B, C so với đường thẳng d₁ (thay tạo độ điểm B và C vào phương trình đường thẳng d₁)

t_B = y_B - 6 = -10

t_C = y_C - 6 = -6

Ta có: t_B.t_C > 0 suy ra, B và C cùng phía so với d₁

Vậy d₁ là đường phân giác ngoài của góc A, nên d₂ là phân giác trong của góc A.

Tương tự, Phương trình đường phân giác góc B (cạnh BA, BC):

$\small \frac{|2x-y+2|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\pm \frac{|x-2y-5|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}}$ $\small \Leftrightarrow \left \[ \begin{matrix} d_3:\: x+y+7=0\\ d_4:\: x-y-1=0 \end{matrix}\right.$

Xét vị trí tương đối của 2 điểm A, C so với đường thẳng d₃ (thay tạo độ điểm A và C vào phương trình đường thẳng d₃)

t_A = x_A + y_A + 7 = 2 + 6 + 7 = 15

t_C = x_C + y_C + 7 = 5 + 0 + 7 = 12

Ta có: t_A.t_C > 0 suy ra, A và C cùng phía so với d₃

Vậy d₃ là đường phân giác ngoài của góc B, nên d₄ là phân giác trong của góc B.

Khi đó, tọa độ tâm I là nghiệm của hệ:

$\small \left\{\begin{matrix} x-2=0\\ x-y-1=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2\\ y=1 \end{matrix}\right.$

Vậy tâm I(2;1) bán kính của đường tròn là:

$\small R=d(I,AB)=\frac{|2.2-1+2|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\sqrt{5}$

Vậy phương trình đường tròn có dạng:

(x - 2)² + (y - 1)² = 5

Trên đây KhoiA.Vn đã giới thiệu với các em cách viết đường tròn nội tiếp tam giác ABC biết tọa độ 3 điểm. Hy vọng bài viết giúp các em hiểu rõ hơn. Nếu có câu hỏi hay góp ý các em hãy để lại bình luận dưới bài viết, KhoiA chúc các em thành công.

Viết đường tròn nội tiếp tam giác ABC biết tọa độ 3 điểm - Toán lớp 10

Tags

Đánh giá & nhận xét