Tính góc giữa hai đường thẳng Toán lớp 10 - Hỏi nhanh đáp gọn

11:05:0527/11/2023

Công thức tính góc giữa hai đường thẳng lớp 10 trong không gian toạ độ Oxy là một trong những công thức được sử dụng khá nhiều.

Vậy Tính góc giữa hai đường thẳng lớp 10 theo công thức nào? Tất cả sẽ có lời giải đáp trong bài viết này để các bạn tham khảo.

1. Khái niệm góc giữa hai đường thẳng

Hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ cắt nhau tạo thành bốn góc.

• Nếu ∆₁ không vuông góc với ∆₂ thì góc nhọn trong bốn góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂.

• Nếu ∆₁ vuông góc với ∆₂ thì ta nói góc giữa ∆₁ và ∆₂ bằng 90°.

Ta quy ước: Nếu ∆₁ và ∆₂ song song hoặc trùng nhau thì góc giữa ∆₁ và ∆₂ bằng 0°.

Như vậy góc α giữa hai đường thẳng luôn thỏa mãn: 0° ≤ α ≤ 90°.

Góc giữa hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ được kí hiệu là $\small (\widehat{\Delta _1,\Delta _2})$ hoặc (∆₁, ∆₂).

2. Công thức Tính góc giữa hai đường thẳng

Đường thẳng ∆₁ và ∆₂ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\small \overrightarrow{n}_1=(a_1;b_1),$ $\small \overrightarrow{n}_2=(a_2;b_2).$

Khi đó, công thức tính góc giữa hai đường thẳng là:

$\small cos(\Delta _1,\Delta _2)=\frac{a_1b_1+b_1b_2}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}.\sqrt{a_2^2+b_2^2}}$

* Nhận xét: Nếu ∆₁, ∆₂ có vectơ chỉ phương $\small cos(\Delta _1,\Delta _2)=cos(\overrightarrow{u}_1,\overrightarrow{u}_2)$

> Chú ý: Ta đã biết hai đường thẳng vuông góc khi và chỉ khi chúng có hai vectơ pháp tuyến vuông góc. Do đó:

• Nếu ∆₁ và ∆₂ lần lượt có phương trình a₁x + b₁y + c₁ = 0 và a₂x + b₂y + c₂ = 0 thì ta có:

(∆₁, ∆₂) = 90° ⇔ a₁a₂ + b₁b₂ = 0.

• Nếu ∆₁ và ∆₂ lần lượt có phương trình y = k₁x + m₁ và y = k₂x + m₂ thì ta có:

(∆₁, ∆₂) = 90° ⇔ k₁k₂ = –1.

Nói cách khác, hai đường thẳng có tích các hệ số góc bằng –1 thì vuông góc với nhau.

3. Ví dụ Tính góc giữa hai đường thẳng

* Ví dụ: Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ trong các trường hợp sau:

a) ∆₁: x + 3y – 7 = 0 và ∆₂: x – 2y + 3 = 0;

b) ∆₁: 4x – 2y + 5 = 0 và ∆₂: $\small \left\{\begin{matrix} x=t\\ y=13+2t \end{matrix}\right.$

c) ∆₁: $\small \left\{\begin{matrix} x=1+t\\ y=3+2t \end{matrix}\right.$ và ∆₂: $\small \left\{\begin{matrix} x=-7+2t'\\ y=1-t' \end{matrix}\right.$

* Lời giải:

a) Đường thẳng ∆₁: x + 3y – 7 = 0 có VTPT là $\small \overrightarrow{n}_1$ = (1; 3).

Đường thẳng ∆₂: x – 2y + 3 = 0 có VTPT là $\small \overrightarrow{n}_2$ = (1; –2).

Ta có: $\small cos(\Delta _1,\Delta _2)=cos(\overrightarrow{n}_1,\overrightarrow{n}_2)=\frac{|\overrightarrow{n}_1.\overrightarrow{n}_2|}{|\overrightarrow{n}_1|.|\overrightarrow{n}_2|}$

$\small =\frac{|1.1+3.(-2)|}{\sqrt{1^2+3^2}.\sqrt{1^2+(-2)^2}}=\frac{|-5|}{\sqrt{10}.\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Suy ra (∆₁; ∆₂) = 45°.

Vậy góc giữa hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ là 45°.

b) Đường thẳng ∆₁: 4x – 2y + 5 = 0 có vectơ pháp tuyến là $\small \overrightarrow{n}_1$ (4; –2)

Đường thẳng ∆₂: $\small \left\{\begin{matrix} x=t\\ y=13+2t \end{matrix}\right.$ có vectơ chỉ phương $\small \overrightarrow{u}_2$ (1; 2) hay vectơ pháp tuyến là $\small \overrightarrow{n}_2$ (2; –1).

Ta có: a₁.b₂ – a₂.b₁ =4.(–1) – (–2).2 = 0.

Do đó hai vectơ $\small \overrightarrow{n}_1$ và $\small \overrightarrow{n}_2$ cùng phương.

Suy ra (∆₁; ∆₂) = 0°.

Vậy góc giữa hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ là 0°.

c) Đường thẳng ∆₁: $\small \left\{\begin{matrix} x=1+t\\ y=3+2t \end{matrix}\right.$ có vectơ chỉ phương là $\small \overrightarrow{u}_1$ (1; 2)

Đường thẳng ∆₂: $\small \left\{\begin{matrix} x=-7+2t'\\ y=1-t' \end{matrix}\right.$ có vectơ chỉ phương là $\small \overrightarrow{u}_2$ (2; -1)

Ta có: $\small \overrightarrow{u}_1. \overrightarrow{u}_2=1.2+2.(-1)=0$

Do đó hai vectơ $\small \overrightarrow{u}_1$ và $\vec{u_{2}}$ vuông góc.

Suy ra (∆₁; ∆₂) = 90°.

Vậy góc giữa hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ là 90°.

Trên đây KhoiA.Vn đã trình bày Công thức Tính góc giữa hai đường thẳng Toán lớp 10 Toán lớp 10 để các em thuận tiện tra cứu khi cần. Nếu có câu hỏi hay góp ý các em hãy để lại bình luận dưới bài viết nhé, chúc các em thành công.