Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng, Hỏi nhanh đáp gọn môn Toán

Vậy cách tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng như thế nào? bài viết dưới đây sẽ giúp chúng ta có câu trả lời cụ thể.

• Hàm số đồng biến khi nào?

Cho hàm số y = f(x) xác định trên K (với K là một khoảng hoặc một đoạn hoặc nửa khoảng).

- Hàm số y = f(x) là đồng biến (tăng) trên K nếu ∀x₁, x₂ ∈ K, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂).

- Hàm số y = f(x) là nghịch biến (giảm) trên K nếu ∀x₁, x₂ ∈ K, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂).

Hàm đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K.

⇒ Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu ∀x₁, x₂ ∈ K, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂).

• Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng

Ta thực hiện các bước sau:

+ Bước 1: Kiểm tra tập xác định: Vì bài toán có tham số nên ta cần tìm điều kiện của tham số để hàm số xác định trên khoảng (a;b).

+ Bước 2: Tính f'(x) và tìm điều kiện của tham số để f'(x) ≥ 0 hoặc f'(x) ≤ 0 trên khoảng (a;b) theo yêu cầu bài toán.

• Một số ví dụ: Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng

* Ví dụ 1: Cho hàm số f(x) = x³ – 3x² – 3(m + 1)x  – (m+1)  (*)

a) Tìm m để hàm số đồng biến trên [1; +∞).

b) Tìm m để hàm số đồng biến trên [–1; 3].

* Lời giải:

- TXĐ: D = R

- Ta có: f'(x) = 3x² – 6x – 3(m + 1)

a) Tìm m để hàm số đồng biến trên [1; +∞).

- Để hàm số đồng biến trên [1;+∞) thì f'(x) ≥ 0, ∀x ∈ [1; +∞).

 ⇒ 3x² – 6x – 3(m + 1) ≥ 0, ∀x ∈ [1;+∞)

 ⇒ x² – 2x – m – 1 ≥ 0, ∀x ∈ [1;+∞)

 ⇒ x² – 2x – 1 ≥ m, ∀x ∈ [1;+∞)

- Đặt y(x) = x² – 2x – 1 ⇒ y' = 2x – 2

- Cho y' = 0 ⇒ x = 1. Ta có bảng biến thiên sau:

- Từ bảng biến thiên ta có: 

- Kết luận: Vậy với m ≤ –2 thì hàm số (*) đồng biến trên khoảng [1; +∞).

b) Tìm m để hàm số đồng biến trên [–1; 3].

- Để hàm số nghịch biến trên [–1; 3] thì f'(x) ≤ 0, ∀x ∈ [-1; 3].

 ⇒ 3x² – 6x – 3(m + 1) ≤ 0,∀x ∈ [–1; 3].

 ⇒ x² – 2x – m – 1 ≤ 0, ∀x ∈ [–1; 3].

 ⇒ x² – 2x – 1 ≤ m, ∀x ∈ [–1; 3].

- Đặt y(x) = x² – 2x – 1  ⇒ y'(x) = 2x – 2

- Cho y'(x) = 0  ⇒ x = 1. Ta có bảng biến thiên sau:

- Từ bảng biến thiên ta có: 

- Kết luận: Vậy với m ≥ 2 thì hàm số (*) đồng biến trên khoảng [–1; 3].

* Ví dụ 2: Cho hàm số:  (*)

Tìm m để hàm số đồng biến trên (0;+∞)

* Lời giải:

- TXĐ: mx + 1 ≠ 0

- Ta có: 

Để hàm số đồng biến trên khoảng (0;+∞) thì ta phải có y'≥0 ∀x∈(0;+∞)

Ta xét 2 trường hợp sau:

+ TH1: Với m = 0 thì hàm số (*) trở thành: y = x tăng trên (0;+∞)

+ TH2: Với m ≠ 0, y'≥0 ∀x∈(0;+∞)

Xét g(x) = m²x² + 2mx + 1 - m² có

 Δ' = m⁴ > 0

Nên y'≥0 ∀x∈(0;+∞) khi và chỉ khi: x₁ < x₂ ≤ 0

* Lưu ý: Theo Vi-et với x₁, x₂ là nghiệm của phương trình bậc 2 thì: 

Trong điều kiện ở trên: P ≥ 0 để 2 nghiệm của pt bậc 2 cùng dấu; S < 0 để 2 nghiệm của pt bậc 2 nằm về bên trái số 0 (cùng âm).

→ Kết luận: Kết hợp 2 trường hợp trên ta được:

Khi 0 ≤ m ≤ 1 thì hàm số (*) đồng biến trên (0;+∞)