Tích có hướng của 2 vectơ là gì? Tính chất, Công thức tích có hướng của 2 vectơ và ứng dụng - Toán lớp 12

09:23:3505/07/2022

Công thức tích có hướng của hai vectơ trong không gian Oxyz là một trong những công thức được vận dụng và ứng dụng rất nhiều trong các bài toán viết phương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng,...

Nội dung bài viết này của Khối A sẽ giúp các em biết Tích có hướng của 2 vectơ là gì? Tính chất của tích có hướng và Công thức tích có hướng của 2 vectơ và ứng dụng tích có hướng của hai vectơ trong không gian Oxyz.

1. Tích có hướng của 2 vectơ là gì?

• Định nghĩa: Trong không gian Oxyz cho hai vecto $\small \overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)$ và $\small \overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3)$ . Tích có hướng của hai vectơ $\small \overrightarrow{a}$ và $\small \overrightarrow{b}$ , kí hiệu là: $\small [\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]$ được xác định bởi:

$\small \small [\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]=\left ( \left | \begin{matrix} a_2&a_3\\ b_2&b_3 \end{matrix} \right |; \left | \begin{matrix} a_3&a_1\\ b_3&b_1 \end{matrix} \right |; \left | \begin{matrix} a_1&a_2\\ b_1&b_2 \end{matrix} \right |\right )$

=(a₂b₃ - a₃b₂; a₃b₁ - a₁b₃; a₁b₂ - a₂b₁)

> Lưu ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ còn tích vô hướng của hai vectơ là một số.

2. Tính chất tích có hướng của 2 vectơ

• $\small [\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]\perp \overrightarrow{a}; [\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]\perp \overrightarrow{b}$

• $\small [\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]=-[\overrightarrow{b},\overrightarrow{a}]$

• $\small [\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]= \overrightarrow{c}; [\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}]= \overrightarrow{a}; [\overrightarrow{c},\overrightarrow{a}]= \overrightarrow{b}$

• $|[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]|=|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|.sin(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$

• $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ cùng phương $\small \Leftrightarrow [\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]=\overrightarrow{0}$ (dùng chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng)

3. Ứng dụng của tích có hướng

Tích có hướng của vectơ trong không gian được ứng dụng trong việc chứng minh 3 điểm thẳng hàng, điều kiện đồng phẳng của 3 vectơ; tính diện tích hình bình hành, diện tích tam giác, thể tích hình hộp và thể tích tứ diện.

• Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ

$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ và $\small \overrightarrow{c}$ đồng phẳng $\small \Leftrightarrow [\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}].\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$

• Tính diện tích hình bình hành ABCD

$\small S_{ABCD}=\left | [\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}] \right |$

• Tính diện tích tam giác ABC

$\small S_{ABC}=\frac{1}{2}.\left | [\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}] \right |$

• Tính thể tích hình hộp ABCD.A'B'C'D'

$\small V_{ABCD.A'B'C'D'}=\left |[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}].\overrightarrow{AA'} \right |$

• Tính thể tích tứ diện ABCD

$\small \small V_{ABCD}=\frac{1}{3}.\left |[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}].\overrightarrow{AD} \right |$

Trên đây KhốiA.Vn đã giới thiệu với các em về Tích có hướng của 2 vectơ là gì? Tính chất của tích có hướng và Công thức tích có hướng của 2 vectơ và ứng dụng tích có hướng của hai vectơ trong không gian Oxyz Toán lớp 12. Hy vọng bài viết giúp các em hiểu rõ hơn. Nếu có câu hỏi hay góp ý các em hãy để lại bình luận dưới bài viết, KhoiA chúc các em thành công

Tích có hướng của 2 vectơ là gì? Tính chất, Công thức tích có hướng của 2 vectơ và ứng dụng - Toán lớp 12

Tags

Đánh giá & nhận xét