Phương trình đường thẳng lớp 12: Tóm tắt lý thuyết đầy đủ và chi tiết - Toán lớp 12

16:30:4730/06/2022

Phương trình đường thẳng lớp 12 là nội dung thường xuyên có trong đề thi tốt nghiệp (thi THPT quốc gia), nếu đã nắm vững phương trình đường thẳng trong mặt phẳng ở lớp 10 thì nó chính là cơ sở tốt để các em hiểu về phương trình đường thẳng trong không gian lớp 12.

Nội dung bài này Khối A sẽ tóm tắt lý thuyết phương trình đường thẳng lớp 12 trong không gian Oxyz một cách đầy đủ, chi tiết, ngắn gọn để các em có thể vận dụng giải các bài tập liên quan về phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Oxy.

1. Phương trình tham số của đường thẳng trong không gian Oxyz

• Đường thẳng (d) đi qua M₀(x₀;y₀;z₀) và có vectơ chỉ phương = (a;b;c), khi đó:

Phương trình tham số của (d) là:

$\dpi{100} \small \left\{\begin{matrix} x=x_0+at\\ y=y_0+bt\\ z=z_0+ct \end{matrix}\right.\: ,(t\in \mathbb{R})$

2. Phương trình chính tắc của đường thẳng trong không gian Oxyz

• Đường thẳng (d) đi qua M₀(x₀;y₀;z₀) và có vectơ chỉ phương = (a;b;c), với a, b, c ≠ 0, khi đó:

Phương trình chính tắc của (d) là:

$\small \frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}\: ;(a,b,c\neq 0)$

3. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng trong không gian Oxyz

• Cho đường thẳng d₁ đi qua điểm M₁(x₁;y₁;z₁) và có vectơ chỉ phương ₁ = (a;b;c)

và đường thẳng d₂đi qua điểm M₂(x₂;y₂;z₂) và có vectơ chỉ phương ₂ = (a₂;b₂;c₂) khi đó:

• d₁ và d₂ cùng nằm trong một mặt phẳng khi và chỉ khi: $\small [\overrightarrow{u}_1,\overrightarrow{u}_2].\overrightarrow{M_1M_2}=0$

• d₀ và d₁ cắt nhau khi và chỉ khi: $\small \left\{\begin{matrix} [\overrightarrow{u}_1,\overrightarrow{u}_2].\overrightarrow{M_1M_2}=0\\ [\overrightarrow{u}_1,\overrightarrow{u}_2]\neq \overrightarrow{0} \end{matrix}\right.$

• d₀ // d₁ khi và chỉ khi: $\small \left\{\begin{matrix} [\overrightarrow{u}_1,\overrightarrow{u}_2]= \overrightarrow{0}\\ [\overrightarrow{u}_1,\overrightarrow{M_1M_2}]\neq 0 \end{matrix}\right.$

• d₀ Ξ d₁ khi và chỉ khi: $\small [\overrightarrow{u}_1,\overrightarrow{u}_2]= [\overrightarrow{u}_1,\overrightarrow{M_1M_2}]= 0$

• d₀ và d₁ chéo nhau khi và chỉ khi: $\small [\overrightarrow{u}_1,\overrightarrow{u}_2].\overrightarrow{M_1M_2}\neq 0$

4. Vị trí tương đối của đường thẳng với mặt phẳng

• Đường thẳng (d) đi qua M₀(x₀;y₀;z₀) và có vectơ chỉ phương = (a;b;c)

và mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 có vectơ pháp tuyến = (A;B;C) khi đó:

• d cắt (P) ⇔ Aa + Bb + Cc ≠ 0

• d//(P) ⇔ $small left{egin{matrix} Aa+Bb+Cc=0 Ax_{o}+By_{o}+Cz_{o}+D eq 0 end{matrix} ight.$

• d ⊂ (P) ⇔ $small small left{egin{matrix} Aa+Bb+Cc=0 Ax_{o}+By_{o}+Cz_{o}+D=0 end{matrix} ight.$

• d ⊥ (P) $\small \Leftrightarrow \overrightarrow{u}//\overrightarrow{n}\Leftrightarrow [\overrightarrow{u},\overrightarrow{n}]=\overrightarrow{0}$

5. Góc giữa 2 đường thẳng trong không gian Oxyz

• Đường thẳng (d) có vectơ chỉ phương = (a;b;c) và (d') có vectơ chỉ phương $\small \overrightarrow{u}'$ = (a';b';c'), gọi 0⁰ ≤ ∝ ≤ 90⁰ là góc giữa 2 đường thẳng đó, ta có:

$\small cos\alpha =\frac{|\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u}'|}{|\overrightarrow{u}|.|\overrightarrow{u}'|}$ $\small =\frac{|aa'+bb'+cc'|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}.\sqrt{a'^2+b'^2+c'^2}}$

6. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Oxyz

• Đường thẳng (d) có vectơ chỉ phương = (a;b;c) và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\small \overrightarrow{n}=(A;B;C)$ , gọi 0⁰ ≤ φ ≤ 90⁰ là góc giữa đường thẳng (d) và mp (P), ta có:

$\small sin\varphi =\frac{|\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{u}|.|\overrightarrow{n}|}$ $\small \small =\frac{|aA+bB+cC|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}.\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

7. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng trong không gian Oxyz

• Tính khoảng cách điểm M₁(x₁;y₁;z₁) tới đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương :

* Cách tính 1:

- Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua M₁ và vuông góc với Δ.

- Tìm tọa độ giao điểm H của Δ và mặt phẳng (Q).

- d(M₁,Δ) = M₁H

* Cách tính 2:

Sử dụng công thức: $\small d(M_1,\Delta )=\frac{|[\overrightarrow{M_1M_0},\overrightarrow{u}]|}{|\overrightarrow{u}|}$

(Với M₀ là điểm thuộc Δ)

8. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

• Cho đường thẳng Δ₀ đi qua điểm M₀(x₀;y₀;z₀) và có vectơ chỉ phương ₀ = (a;b;c) và đường thẳng Δ₁ đi qua điểm M₁(x₁;y₁;z₁) và có vectơ chỉ phương ₁ = (a₁;b₁;c₁):

* Cách tính 1:

- Viết phương trình mặt phẳng $(Q)$ chứa (Δ₀) và song song với (Δ₁).

- Tính khoảng cách từ M₀M₁ tới mặt phẳng (Q).

- Ta có: d(Δ₀,Δ₁) = d(M₁,Q)

* Cách tính 2:

Sử dụng công thức: $\small \dpi{100} \small \small d(\Delta_0,\Delta_1 )=\frac{|[\overrightarrow{u}_0,\overrightarrow{u}_1].\overrightarrow{M_0M_1}|}{|[\overrightarrow{u}_0,\overrightarrow{u}_1]|}$

Trên đây Khối A đã giới thiệu với các em về Phương trình đường thẳng lớp 12: Tóm tắt lý thuyết đầy đủ và chi tiết. Hy vọng bài viết giúp các em hiểu rõ hơn. Nếu có câu hỏi hay góp ý các em hãy để lại bình luận dưới bài viết, KhoiA chúc các em thành công.

Phương trình đường thẳng lớp 12: Tóm tắt lý thuyết đầy đủ và chi tiết - Toán lớp 12

Tags

Đánh giá & nhận xét