Phương trình đường thẳng lớp 10: Tóm tắt lý thuyết đầy đủ, chi tiết - Toán lớp 10

Nội dung bài này Khối A sẽ tóm tắt lý thuyết phương trình đường thẳng lớp 10 trong mặt phẳng Oxy một cách đầy đủ, chi tiết, ngắn gọn để các em có thể vận dụng giải các bài tập liên quan về phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Oxy.

I. Các vectơ của đường thẳng

1. Vectơ chỉ phương của dường thẳng

Vectơ  được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ nếu  và giá của  song song hoặc trùng với Δ.

2. Vectơ pháp tuyến của dường thẳng

Vectơ  được goi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$ nếu  và giá của  vuông góc với vectơ chỉ phương của đường thẳng Δ.

II. Các dạng phương trình đường thẳng

1. Phương trình tổng quát của đường thẳng

• Phương trình tổng quát của đường thẳng Δ đi qua điểm M₀(x₀;y₀) và có vectơ pháp tuyến  là:

  a(x - x₀) + b(y - y₀) = 0

hay:

 ax + by + c =  0 (với c = -ax₀ - by₀)

• Các dạng đặt biệt của phương trình đường thẳng

  Δ: ax + c = 0 (a≠0) khi Δ song song hoặc trùng với Oy

  Δ: by + c = 0 (b≠0) khi Δ song song hoặc trùng với Ox

  Δ: ax + by = 0 (a² + b² ≠ 0) khi Δ đi qua gốc tọa độ

2. Phương trình đoạn chắn của đường thẳng

• Đường thẳng cắt Ox và Oy lần lượt tại 2 điểm A(a;0) và B(0;b) có phương trình đoạn theo chắn là:

3. Phương trình tham số của đường thẳng

• Phương trình tham số của đường thẳng Δ đi qua điểm M₀(x₀;y₀) và có vectơ chỉ phương  là:

4. Phương trình chính tắc của đường thẳng

• Phương trình chính tắc của đường thẳng Δ đi qua điểm M₀(x₀;y₀) và có vectơ chỉ phương  là:

5. Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm

• Xét 2 điểm A(x_A; y_A), B(x_B; y_B) với x_A ≠ x_B , y_A ≠ y_B. Phương trình đường thẳng AB là:

• Nếu x_A = x_B, phương trình đường thẳng: x = x_A

• Nếu y_A = y_B, phương trình đường thẳng: y = x_B

6. Hệ số góc

• Phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm M₀(x₀;y₀) và có hệ số góc k thỏa mãn:

 y - y₀ = k(x - x₀)

Nếu (Δ) có vectơ chỉ phương  với a≠0 thì hệ số góc của (Δ) là: 

Như vậy, nếu (Δ) có hệ số góc k thì (Δ) có vectơ chỉ phương là:

7. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng

• Xét 2 đường thẳng d₁: a₁x + b₁y + c₁ = 0 và d₂: a₂x + b₂y + c₂ = 0. Tọa độ giao điểm d₁ và d₂ là nghiệm của hệ:

Ta có các trường hợp sau:

- Hệ (*) có một nghiệm (x_o; y_o), khi d₁ cắt d₂ tại M_o(x_o; y_o)

- Hệ (*) có vô số nghiệm khi d₁ trùng d₂

- Hệ (*) vô nghiệm khi d₁ // d₂

> Lưu ý: Nếu a₂, b₂, c₂ ≠ 0 thì:

 d₁ cắt d₂ khi: 

 d₁ song song d₂ khi: 

 d₁ trùng d₂ khi: 

8. Góc giữa 2 đường thẳng

• Cho 2 đường thẳng Δ₁: a₁x + b₁y + c₁ = 0 có vectơ pháp tuyến

và Δ₂: a₂x + b₂y + c₂ = 0 có vectơ pháp tuyến

Gọi α là góc tạo bởi giữa hai đường thẳng Δ₁​ và Δ₂

​Khi đó công thức tính góc giữa hai đường thẳng Δ₁​ và Δ₂ là:

> Lưu ý:

• Δ₁​ ⊥ Δ₂ ⇔ 

• Nếu Δ₁​ và Δ₂ có phương trình đường thẳng là: y = k₁x + m₁ và y = k₂x + m₂ thì Δ₁​ ⊥ Δ₂ ⇔ k₁k₂ = -1.

9. Công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng

• Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng Δ có phương trình ax + by + c = 0 và điểm M₀(x₀;y₀).

• Khoảng cách từ điểm M₀​ đến đường thẳng Δ kí hiệu là d(M₀,Δ), được tính bởi công thức: