Nhị thức bậc nhất là gì? Cách xét dấu nhị thức bậc nhất - Toán 10 bài 3

Vậy nhị thức bậc nhất là gì? cách xét dấu nhị thức bậc nhất ra sao? chúng ta cùng tìm hiểu qua bài viết này, để qua đó xét dấu tích thương các nhị thức bậc nhất, vận dụng vào giải một số bất phương trình như: bất phương trình chứa ẩn ở mẫu hay bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.

I. Định lý về dấu của nhị thức bậc nhất

1. Nhị thức bậc nhất

• Nhị thức bậc nhất đối với x là biểu thức dạng f(x) = ax + b. Trong đó a, b là hai số đã cho, a ≠ 0.

* Câu hỏi 1 trang 89 SGK Toán 10 Đại số: a) Giải bất phương trình -2x + 3 > 0 và biểu diễn trên trục số tập nghiệm của nó.

b) Từ đó hãy chỉ ra các khoảng mà nếu x lấy giá trị trong đó thì nhị thức f(x) = -2x + 3 có giá trị

Trái dấu với hệ số của x;

Cùng dấu với hệ số của x.

> Lời giải:

a)-2x + 3 > 0 ⇔ -2x > -3 ⇔ x < 3/2

Biểu diễn tập nghiệm trên trục số:

b) Nhị thức f(x) = -2x + 3 có giá trị:

 Trái dấu với hệ số của x khi x < 3/2

 Cùng dấu với hệ số của x khi x > 3/2

2. Dấu của nhị thức bậc nhất

• Định lý về dấu của nhị thức bậc nhất

- Nhị thức f(x) = ax + b có giá trị cùng dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong khoảng , trái dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong khoảng .

• Tổng quát, ta có bảng xét dấu nhị thức bậc nhất như sau:

• Minh họa xét dấu nhị thức bậc nhất trên trục số

• Minh họa xét dấu nhị thức bậc nhất bằng đồ thị

* Câu hỏi 2 trang 90 SGK Toán 10 Đại số: Xét dấu các nhị thức f(x) = 3x + 2, g(x) = -2x + 5.

> Lời giải:

• Nhị thức 3x + 2 có nghiệm là x = -2/3. Bảng xét dấu của f(x) = 3x + 2 như sau:

• Nhị thức -2x + 5 có nghiệm là x = 5/2. Bảng xét dấu của g(x) = -2x + 5 như sau:

II. Xét dấu tích, thương các nhị thức bậc nhất

Giả sử f(x) là một tích của những nhị thức bậc nhất. Áp dụng định lí về dấu của nhị thức bậc nhất có thể xét dấu từng nhân tử. Lập bảng xét dấu chung cho tất cả các nhị thức bậc nhất có mặt trong f(x) ta suy ra được dấu của f(x). Trường hợp f(x) là một thương cũng được xét tương tự.

* Ví dụ (câu hỏi 3 trang 92 SGK Toán 10 Đại số): Xét dấu biểu thức: f(x) = (2x - 1)(-x + 3)

> Lời giải:

- Nhị thức 2x - 1 có nghiệm là: x = 1/2

- Nhị thức -x + 3 có nghiệm là: x = 3

Các nghiệm này chia trục số thành 3 khoảng, trong mỗi khoảng các nhị thức đã cho có dấu hoàn toàn xác định.

Ta lập bảng xét dấu như sau:

Từ bảng xét dấu ta thấy:

° f(x) > 0 khi x ∈ (1/2;3)

° f(x) < 0 khi x ∈ (-∞; 1/2) υ (3;+∞)

° f(x) = 0 khi x = 1/2 hoặc x = 3.

III. Áp dụng xét dấu nhị thức bậc nhất giải bất phương trình

Giải bất phương trình f(x) > 0 thực chất là xét xem biểu thức f(x) nhận giá trị dương với những giá trị nào của x (do đó cũng biết f(x) nhận giá trị âm với những giá trị nào của x), làm như vậy ta nói đã xét dấu biểu thức f(x).

a) Bất phương trình tích, bất phương trình chứa ẩn ở mẫu thức

Phương pháp chung:

- Đặt điều kiện và quy đồng mẫu thức các phân phức.

- Xét dấu các nhị thức bậc nhất và kết luận nghiệm.

* Ví dụ (câu hỏi 4 trang 92 SGK Toán 10 Đại số): Giải bất phương trình x³ – 4x < 0.

> Lời giải:

- Ta có: x³ – 4x < 0 ⇔ x(x² - 4) < 0 ⇔ x(x - 2)(x + 2) < 0

Ta có bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu ta có tập nghiệm của bất phương trình là: S = (-∞;2) ∪ (0;2).