Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng trong Oxy Công thức và Bài tập - Toán lớp 10

13:47:3807/07/2022

Tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng trong mặt phẳng Oxy cũng là một trong những công thức được vận dụng nhiều trong các bài tập ở hình học lớp 10.

Nội dung bài viết này Khối_A.Vn sẽ hướng dẫn các em cách tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng trong mặt phẳng Oxy, qua đó vận dụng vào một số và Bài tập để các em hiểu rõ, dễ dàng ghi nhớ công thức.

I. Công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng trong Oxy

• Cho đường thẳng Δ có phương trình: ax + by + c = 0 và điểm M(x₀; y₀). Khi đó khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ kí hiệu là d(M,Δ) được tính theo công thức:

$\small d(M,\Delta )=\frac{\left | ax_0+by_0+c \right |}{\sqrt{a^2+b^2}}$

• Cho điểm A( x_A; y_A) và điểm B( x_B; y_B). Khoảng cách giữa hai điểm A, B là:

$\small AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$

> Chú ý: Trong trường hợp đường thẳng d chưa viết dưới dạng tổng quát thì đầu tiên ta cần đưa đường thẳng d về dạng tổng quát.

II. Bài tập tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng trong Oxy

* Bài tập 1: Tính khoảng cách từ điểm M(2;-3) đến đường thẳng (Δ) có phương trình tổng quát là: 3x - 4y - 21 = 0.

> Lời giải:

- Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (Δ) là:

$\small d(M,\Delta )=\frac{\left | 3.2-4.(-3)-21 \right |}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}$ $\small =\frac{|6+12-21|}{\sqrt{25}}=\frac{3}{5}$

* Bài tập 2: Tính khoảng cách từ điểm A(-1;3) đến đường thẳng (d) có phương trình chính tắc là: $\small \frac{x}{3}+\frac{y}{4}=5$

> Lời giải:

- Đưa phương trình đường thẳng (d) về dạng tổng quát:

$\small \frac{x}{3}+\frac{y}{4}=5\Leftrightarrow 4x+3y-60=0$

⇒ Khoảng cách từ điểm A(-1;3) đến đường thẳng (d) là:

$\small d(A,d )=\frac{\left | 4.(-1)+3.3-60 \right |}{\sqrt{4^2+3^2}}$ $\small =\frac{\left |-4+9-60 \right |}{\sqrt{25}}=\frac{55}{5}=11$

* Bài tập 3: Tính khoảng cách từ điểm A(-3;-1) đến đường thẳng d có phương trình tham số là: $\small \left\{\begin{matrix} x=-1+3t\\ y=2+5t \end{matrix}\right.$

> Lời giải:

- Đưa phương trình đường thẳng (d) về dạng tổng quát:

Ta thấy, Δ đi qua điểm M(-1;2) và có vectơ chỉ phương:

$\small \overrightarrow{u}_d=(3;5)\Rightarrow \overrightarrow{n}_d=(5;-3)$

⇒ Phương trình (d): 5[x - (-3)] - 3[(y - (-1)] = 0

⇔ 5(x + 3) - 3(y +1) = 0

⇔ 5x - 3y + 12 = 0

- Khoảng cách từ điểm A(-3;-1) đến d là:

$\small d(A,d )=\frac{\left | 5.(-1)-3.2+12 \right |}{\sqrt{5^2+(-3)^2}}$ $\small =\frac{|-5-6+12|}{\sqrt{25+9}}=\frac{1}{\sqrt{34}}$

* Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(3;-4); B(2;5) và C(3;-2) . Tính diện tích tam giác ABC.

> Lời giải:

- Ta có phương trình BC: qua B(2;5) và có VTCP:

$\small \overrightarrow{u}_{BC}=(1;-7)\Rightarrow \overrightarrow{n}_{BC}=(7;1)$

⇒Phương trình cạnh BC: 7(x - 2) + 1(y - 5) = 0

⇔ 7x + y - 19 = 0

Đường cao hạ từ đỉnh A(3;-4) xuống cạnh BC chính là khoảng cách từ A đến BC:

$\small d(A,BC)=\frac{\left | 7.3+(-4)-19 \right |}{\sqrt{7^2+1^2}}$ $\small =\frac{|21-23|}{\sqrt{50}}=\frac{2}{5\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{5}$

Độ dài cạnh $\small BC=\sqrt{(3-2)^2+(-2-5)^2}$ $\small =\sqrt{1^2+(-7)^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$

⇒ Diện tích tam giác ABC là:

$\small S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}.d(A,BC).BC=\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{2}}{5}.5\sqrt{2}=1$

* Ví dụ 5: Tính diện tích của hình chữ nhật có đỉnh A(2;1) và hai cạnh của hình chữ nhật nằm trên 2 đường thẳng d₁ : 4x - 3y + 5 = 0 và d₂: 3x + 4y – 5 = 0

> Lời giải:

- Ta thấy điểm A không thuộc hai đường thẳng trên.

⇒ Độ dài hai cạnh kề của hình chữ nhật bằng khoảng cách từ A(2;1) đến hai đường thẳng trên, do đó diện tích hình chữ nhật bằng:

$\small S=d(A,d_1).d(A.d_2)$ $\small =\frac{\left | 4.2-3.1+5 \right |}{\sqrt{4^2+(-3)^2}}.\frac{\left | 3.2+4.1-5 \right |}{\sqrt{4^2+3^2}}$

$\small =\frac{|8-3+5|}{\sqrt{25}}.\frac{|6+4-5|}{\sqrt{25}}=\frac{10}{5}.\frac{5}{5}=2$

Trên đây Khối A đã giới thiệu với các em về cách tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng trong mặt phẳng Oxy Toán lớp 10. Hy vọng bài viết giúp các em hiểu rõ hơn. Nếu có câu hỏi hay góp ý các em hãy để lại bình luận dưới bài viết, KhốiA chúc các em thành công.

Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng trong Oxy Công thức và Bài tập - Toán lớp 10

Tags

Đánh giá & nhận xét