Hàm số lũy thừa là gì? Cách tính đạo hàm của hàm số lũy thừa và khảo sát hàm số lũy thừa - Toán 12 bài 2

Cụ thể, hàm số lũy thừa là gì? cách tính đạo hàm của hàm số lũy thừa ra sao? Khảo sát hàm số lũy thừa như thế nào? chúng ta cùng tìm hiểu qua bài viết dưới đây nhé.

I. Khái niệm hàm số lũy thừa

• Hàm số lũy thừa là gì?

- Hàm số lũy thừa là các hàm số có dạng y = x^α (với α ∈ R).

> Lưu ý:

- Các hàm số lũy thừa có tập xác định khác nhau, tùy theo α.

- Nếu α nguyên dương, tập xác định là R;

- Nếu α nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là R\{0};

- Nếu α không nguyên, tập xác định là (0;+∞)

* Ví dụ: Hàm số:  có tập xác định là [0;+∞)

Hàm số  có tập xác định (0;+∞)

Hàm số  có tập xác định R

Hàm số  có tập xác định (0;+∞)

Như vậy,  và  (hay  và ) là những hàm số khác nhau.

II. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ tổng quát

• Hàm số y = x^α có đạo hàm tại mọi x ∈ (0;+∞) và:

 y' = (x^α)'= α.x^α-1

* Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm: y = x³

> Lời giải:

- Áp dụng công thức (với α = 3) ta được: y' = (x³)' = 3x².

• Nếu hàm số u = u(x) nhận giá trị dương và có đạo hàm trong khoảng J thì hàm số y = u^α(x) cũng có đạo hàm trên J và:

 y' = [u(x^α)]'= α.u^α-1(x).u'(x)

* Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm: y = (x² + 3x - 4)³

> Lời giải:

- Áp dụng công thức hàm hợp (với α = 3; u = x² + 3x - 4), ta được:

 y' = [(x² + 3x - 4)³]' = 3.(x² + 3x - 4)².(2x + 3).

III. Khảo sát hàm số lũy thừa y = x^α

Tương tự bài toán khảo sát hàm số đã học ở chương 1, khảo sát hàm số lũy thừa y=x^α cũng tuân thủ đầy đủ các bước thực hiện sau:

- Bước 1: Tìm tập xác định (hay còn gọi là tập khảo sát).

- Bước 2: Xét sự biến thiên (biểu diễn bằng bảng biến thiên hàm số).

- Bước 3: Vẽ đồ thị hàm số đã cho (dựa vào bảng biến thiên bước 2).

- Hình trên là đồ thị hàm số lũy thừa trên khoảng (0;+∞) ứng với các giá trị α khác nhau

- Đồ thị của hàm số y = x^α luôn đi qua điểm (1;1);

- Khi khảo sát hàm lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó.