Dấu của tam thức bậc 2 chứa tham số, tìm m để tam thức luôn dương, luôn âm Toán 10 - Hỏi nhanh đáp gọn

Câu hỏi là: Cách xét dấu tam Dấu của tam thức bậc 2 chứa tham số như nào? cách tìm m để tam thức luôn dương, luôn âm, không đổi dấu hay đổi dấu 2 lần ra sao? Lời giải đáp sẽ trong bài viết này để các bạn tham khảo.

• Xét dấu của Tam thức bậc hai

* Định lý: Cho f(x) = ax² + bx + c, (a ≠ 0)

Δ = b² – 4ac.

- Nếu Δ < 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ R.

- Nếu Δ = 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a trừ khi x = –b/2a.

- Nếu Δ > 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a khi x < x₁ hoặc x > x₂ ; trái dấu với hệ số a khi x₁ < x < x₂ trong đó x₁,x₂ (với x₁ < x₂) là hai nghiệm của f(x).

• Tìm m để tam thức luôn âm

Tam thức bậc 2 luôn âm trên R khi và chỉ khi 

* Ví dụ: Tìm m để biểu thức sau luôn âm:

a) f(x) = mx² – x – 1

b) g(x) = (m – 4)x² + (2m – 8)x + m – 5

* Lời giải:

a) Xét f(x) = mx² – x – 1

+ Với  m = 0 thì f(x) = – x – 1 lấy cả giá trị dương

Thí dụ f(–2) = 2 – 1 = 1 < 0 nên m = 0 không thỏa yêu cầu bài toán.

+ Với m ≠ 0 thì f(x) = mx² – x – 1 là tam thức bậc hai, nên để biểu thức luôn âm:

f(x) < 0, ∀x 

Vậy với m < –1/4 thì biểu thức f(x) luôn âm.

b) Xét g(x) = (m – 4)x² + (2m – 8)x + m – 5

Với m = 4 thì g(x) = –1 < 0 (thỏa mãn điều kiện bài toán)

Với m ≠ 4 thì g(x) = (m – 4)x² + (2m – 8)x + m – 5 là tam thức bậc 2, nên để biểu thức luôn âm:

g(x) < 0, ∀x 

Vậy mới m ≤ 4 thì biểu thức g(x) luôn âm.

• Tìm m để tam thức luôn dương

Tam thức bậc 2 luôn dương trên R khi và chỉ khi 

* Ví dụ 2: Tìm m để biểu thức sau luôn dương: f(x) = 2x² + 3x + m + 1

* Lời giải:

Xét f(x) = 2x² + 3x + m + 1 là tam thức bậc hai với a = 2, b = 3, c = m + 1.

Để f(x) > 0, ∀x 

Ta có: ∆ = 3² – 4.2.(m + 1) = 9 – 8m – 8 = 1 – 8m.

Vì a = 2 > 0 nên để f(x) = 2x² + 3x + m + 1 > 0 với mọi x ∈ ℝ thì ∆ < 0

⇔ 1 – 8m < 0

⇔ m > 1/8

Vậy với m > 1/8 thì biểu thức f(x) luôn dương.

• Tìm m để tam thức không đổi dấu

Tam thức bậc 2 không đổi ấu trên R khi và chỉ khi Δ < 0.

* Ví dụ: Tìm giá trị của tham số m để biểu thức: f(x) = (m + 1)x² + 5x + 2 là tam thức bậc hai không đổi dấu trên ℝ.

* Lời giải:

Ta có: f(x) là tam thức bậc hai khi và chỉ khi m + 1 ≠ 0 hay m ≠ –1

f(x) không đổi dấu trên ℝ khi và chỉ khi ∆ = b² – 4ac = 5² – 4.( m + 1 ). 2 < 0

⇔ 17 – 8m < 0

⇔ m > 17/8

Vậy m > 17/8 thì tam thức bậc 2 đã cho không đổi dấu trên R

• Tìm m để tam thức đổi dấu 2 lần

Tam thức bậc 2 đổi dấu 2 lần khi và chỉ khi Δ > 0

(hay tam thức đổi dấu 2 lần khi và chỉ khi tam thức bậc hai có 2 nghiệm phân biệt)

* Ví dụ: Tìm giá trị của tham số m để biểu thức: f(x) = x² – (m + 2)x + 8m + 1 đổi dấu 2 lần.

* Lời giải:

Tam thức f(x) = x² – (m + 2)x + 8m + 1 đổi dấu hai lần khi và chỉ khi f(x) có hai nghiệm phân biệt

Ta có: ∆ = b² – 4ac = [–(m + 2)]² – 4(8m + 1) = m² – 28m  > 0

⇔ m < 0 hoặc m > 28

Vậy với m < 0 hoặc m >28 thì tam thức bậc 2 đã cho đổi dấu 2 lần

• Bài tập dấu của tam thức bậc 2 chứa tham số

Tìm giá trị của tham số m để biểu thức:

a) f(x) = mx² − 7x + 4 là tam thức bậc hai âm với mọi x ∈ ℝ;

b) f(x) = 3x² − 4x + (3m − 1) là tam thức bậc hai dương với mọi x ∈ ℝ;

c) f(x) = (m² + 1)x² − 3mx + 1 là tam thức bậc hai âm với mọi x ∈ ℝ.