Công thức lượng giác: Công thức cộng, Công thức nhân và Công thức Tổng và Tích - Đại số 10 chương 6 bài 3

10:43:5316/03/2021

Các công thức lượng giác cơ bản, giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt (cung đối, cung bù, cung phụ,...), các em đã tìm hiểu ở bài học trước.

Bài viết này chúng ta sẽ tiếp tục tìm hiểu thêm các công thức lượng giác như: Công thức cộng lượng giác, Công thức nhân đôi, Công thức biến đổi tích thành tổng và công thức biến đổi tổng thành tích.

I. Công thức cộng lượng giác

small cos(a-b)=cosa.cosb+sina.sinb

small cos(a+b)=cosa.cosb-sina.sinb

small sin(a-b)=sina.cosb-cosa.sinb

small sin(a+b)=sina.cosb+cosa.sinb

$small tan(x-y)=frac{tanx-tany}{1+tanx.tany}$

$small tan(x+y)=frac{tanx+tany}{1-tanx.tany}$

> Gợi ý cách ghi nhớ:

Cos thì cos cos sin sin

Sin thì sin cos cos sin rõ ràng

Cos thì đổi dấu hỡi chàng

Sin thì giữ dấu xin nàng nhớ cho.

Tang tổng thì lấy tổng tang

Chia một trừ với tích tang, dễ òm.

II. Công thức nhân đôi

small sin2alpha =2sinalpha .cosalpha

$small cos2alpha =cos^{2}alpha -sin^{2}alpha$ $small =2cos^{2}alpha -1=1-2sin^{2}alpha$

$small tan2alpha =frac{2tanalpha }{1-tan^{2}alpha }$

III. Công thức biến đổi tích thành tổng

$small cosa.cosb=frac{1}{2}left [ cos(a-b)+cos(a+b) ight ]$

$small sina.sinb=frac{1}{2}left [ cos(a-b)-cos(a+b) ight ]$

$small sina.cosb=frac{1}{2}left [ sin(a-b)+sin(a+b) ight ]$

> Gợi ý cách ghi nhớ (theo thứ tự công thức):

Cos cos bằng nửa cos_trừ cộng cos_cộng

Sin sin bằng nửa cos_trừ trừ cos_cộng

Sin cos bằng nửa sin_trừ cộng sin_cộng

IV. Công thức biến đổi tổng thành tích

$small cosu+cosv=2cosfrac{u+v}{2}cosfrac{u-v}{2}$

$small cosu-cosv=-2sinfrac{u+v}{2}sinfrac{u-v}{2}$

$small sinu+sinv=2sinfrac{u+v}{2}cosfrac{u-v}{2}$

$small sinu-sinv=2cosfrac{u+v}{2}sinfrac{u-v}{2}$

> Gợi ý cách ghi nhớ (theo thứ tự công thức):

cos cộng cos bằng hai cos cos

cos trừ cos bằng trừ hai sin sin

sin cộng sin bằng hai sin cos

sin trừ sin bằng hai cos sin

V. Bài tập vận dụng công thức lượng giác

* Bài 1 trang 153 SGK Đại số 10: Tính:

a) cos225⁰; sin240⁰; cot(-15⁰); tan75⁰

b) $sin\frac{7\pi}{2};$ $sin\left (-\frac{\pi}{12} \right );$ $tan\frac{13\pi}{12}$

* Lời giải:

a) Ta có:

¤ 225⁰ = 180⁰ + 45⁰ nên:

cos225⁰ = cos(180⁰ + 45⁰) = -cos45⁰ = (-√2)/2.

¤ sin240⁰= sin(180⁰ + 60⁰) = -sin60⁰ = (-√3)/2.

¤ cot(-15⁰)= -cot(15⁰) = -cot(90⁰ - 75⁰) = -tan(75⁰) = -tan(30⁰ + 45⁰)

$=\frac{-\frac{1}{\sqrt{3}}-1}{1-\frac{1}{\sqrt{3}}}=-\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$ $=-\frac{(\sqrt{3}+1)^2}{2}=-2-\sqrt{3}$

¤ tan75⁰ = tan(90⁰ - 15⁰) = cot15⁰ = -cot(-15⁰) = -(-2-√3) = 2 + √3

- Nếu không tận dụng đáp án ý trước, ta có thể vận dụng công thức sau:

$tan75^0=tan(45^0+30^0)-\frac{tan45^0+tan30^0}{1-tan45^0.tan30^0}$

$=\frac{1+\frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - 1.\frac{1}{ \sqrt{3}}} = \frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}$

b) Ta có:

¤ $sin\left ( \frac{7\pi}{12} \right )=sin\left ( \frac{\pi }{3}+ \frac{\pi }{4} \right )$

$=sin\frac{\pi }{3}.cos\frac{\pi }{4}+cos\frac{\pi }{3}.sin\frac{\pi }{4}$ $=\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

¤ $cos\left ( -\frac{\pi }{12} \right )=cos\left ( \frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{3} \right )$ $=cos\frac{\pi }{4}.cos\frac{\pi }{3}+sin\frac{\pi }{4}.cos\frac{\pi }{3}$

$=\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$

¤ $tan\frac{13\pi}{12}=tan\left ( \pi +\frac{\pi }{12} \right )$ $=tan\frac{\pi }{12} =tan\left (\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{4} \right )$

$=\frac{tan\frac{\pi }{3}-tan\frac{\pi }{4}}{1+tan\frac{\pi }{3}.tan\frac{\pi }{4}}=\frac{\sqrt{3}-1}{1.\sqrt{3}.1}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$

* Bài 2 trang 153 SGK Đại số 10: Tính:

a) $cos\left ( \alpha +\frac{\pi }{3} \right )$ biết $sin\alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}$ và $0<\alpha < \frac{\pi }{2}$

b) $tan\left ( \alpha -\frac{\pi }{4} \right )$ biết $cos\alpha =-\frac{1}{3}$ và $\frac{\pi}{2}<\alpha < \pi$

c) $cos(a+b), \: sin(a-b)$ biết $sinb=\frac{2}{3},\: 90^0<b<180^0$

* Lời giải:

a) Ta có: $sin^2 \alpha +cos^2 \alpha =1$

$\Rightarrow cos^2\alpha =1-sin^2\alpha =1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$

Vì $0<\alpha < \frac{\pi }{2}$ nên suy ra $cos\alpha >0\Rightarrow cos\alpha =\sqrt{\frac{2}{3}}$

- Lại có: $cos\left ( \alpha +\frac{\pi }{3} \right )=cos\alpha .cos\frac{\pi }{3} - sin\alpha .sin\frac{\pi }{3}$

$=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{3}}.\frac{\sqrt{3}}{2}$ $=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}-3}{6}$

b) Ta có: $1+tan^2\alpha =\frac{1}{cos^2\alpha }$

$\Rightarrow tan^2\alpha =\frac{1}{cos^2\alpha }-1=9-1=8$

Mà $\frac{\pi}{2}<\alpha < \pi$ nên suy ra $tan\alpha <0\Rightarrow tan\alpha =-\sqrt{8}=-2\sqrt{2}$

- Lai có: $tan\left ( \alpha -\frac{\pi }{4} \right ) = \frac{tan\alpha - tan\frac{\pi }{4}}{1+tan\alpha .tan\frac{\pi }{4}}$ $=\frac{-2\sqrt{2}-1}{1+(-2\sqrt{2}).1}=\frac{2\sqrt{2}+1}{2\sqrt{2}-1}$

c) Ta có: sin^2 a +cos^2 a =1

$\Rightarrow cos^2a =1-sin^2a =1-\left (\frac{4}{5} \right )^2=\frac{9}{25}$

Mà $0^0<\alpha <90^0$ nên suy ra $cosa>0\Rightarrow cosa=\frac{3}{5}$

Tương tự: $\Rightarrow cos^2b =1-sin^2b =1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$

Mà $90^0<\alpha <180^0$ nên suy ra $cosb<0\Rightarrow cosb=-\sqrt{\frac{5}{9}}=-\frac{\sqrt{5}}{3}$

- Mặt khác, lại có:

cos(a+b)=cosa.cosb-sina.sinb

$=\frac{3}{5}.\left (-\frac{\sqrt{5}}{3} \right )-\frac{4}{5}.\frac{2}{3}=\frac{-\sqrt{5}}{5}-\frac{8}{15}$

sin(a-b)=sina.cosb-cosa.sinb

$=\frac{4}{5}.\left (-\frac{\sqrt{5}}{3} \right )-\frac{3}{5}.\frac{2}{3}=\frac{-4\sqrt{5}}{15}-\frac{2}{5}$

* Bài 6 trang 154 SGK Đại số 10: Cho: $sin2a =-\frac{5}{9}$ và $\frac{\pi }{2}<a <\pi$ tính sina và cosa.

* Lời giải:

- Theo bài ra: $\frac{\pi }{2}<a <\pi$ nên suy ra cosa<0 và sina>0.

- Ta có: (sina - cosa)² = sin²a + cos²a - 2.sina.cosa

= 1 - sin2a = 1 - (-5/9) = 14/9

Mà sina>0; cosa<0 nên sina - cosa>0 ⇒ sina - cosa = √14/9. (1)

- Lại có: (sina + cosa)² = sin²a + cos²a + 2.sina.cosa

= 1 + sin2a = 1 + (-5/9) = 4/9

⇒ sina + cosa = 2/3 hoặc sina + cosa = -2/3.

¤ TH1: sina + cosa = 2/3. kết hợp với (1) ta được hệ pt:

$\left\{\begin{matrix} sina+cosa=\frac{2}{3}\\ sina-cosa=\frac{\sqrt{14}}{3} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} sina=\frac{2+\sqrt{14}}{6}\\ cosa=\frac{2-\sqrt{14}}{6} \end{matrix}\right.$

¤ TH2: sina + cosa = -2/3. kết hợp với (1) ta được hệ pt:

$\left\{\begin{matrix} sina+cosa=-\frac{2}{3}\\ sina-cosa=\frac{\sqrt{14}}{3} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} sina=\frac{-2+\sqrt{14}}{6}\\ cosa=\frac{-2-\sqrt{14}}{6} \end{matrix}\right.$

* Bài 7 trang 154 SGK Đại số 10: Biến đổi thành tích các biểu thức sau:

a) 1 – sinx; b) 1 + sinx;

c) 1 + 2cosx; d) 1 – 2sinx;

* Lời giải:

a) 1 – sinx;

$1-sinx=sin^2\frac{x}{2}+cos^2\frac{x}{2}-2sin\frac{x}{2}.cos\frac{x}{2}$ $=\left ( sin\frac{x}{2}-cos\frac{x}{2} \right )^2$

+) Cách khác: $1-sinx = sin\frac{\pi }{2}-sinx$ $=2cos\left ( \frac{\pi }{4}+\frac{x}{2} \right ).sin\left ( \frac{\pi }{4}-\frac{x}{2} \right )$

b) 1 + sinx;

- Biến đổi tươn tự câu a) ta có: $1+sinx = \left ( sin\frac{x}{2}+cos\frac{x}{2} \right )^2$

+) Cách khác: $1+sinx = sin\frac{\pi }{2}+sinx$ $=2sin\left ( \frac{\pi }{4}+\frac{x}{2} \right ).cos\left ( \frac{\pi }{4}-\frac{x}{2} \right )$

c) 1 + 2cosx

- Ta có: $1+cos2x=1+2\left ( 2.cos^2\frac{x}{2}-1 \right )$

$=4cos^2\frac{x}{2}-1=\left ( 2.cos\frac{x}{2}-1 \right )\left ( 2.cos\frac{x}{2}+1 \right )$

d) 1 – 2sinx

$=2.\left ( \frac{1}{2}-sinx \right )=2.\left ( sin\frac{\pi }{6} -sinx\right )$

$=4.cos\left ( \frac{\pi }{12}+\frac{x}{2} \right ).sin\left ( \frac{\pi }{12}-\frac{x}{2} \right )$

* Bài 8 trang 154 SGK Đại số 10: Rút gọn biểu thức:

$A=\frac{sinx+sin3x+sin5x}{sinx+cos3x+cos5x}$

* Lời giải:

- Ta có: sinx+sin3x+sin5x=(sin5x+sinx)+sin3x

$=2.sin\frac{5x+x}{2}.cos\frac{5x-x}{2}+sin3x$

=2sin3x.cos2x+sin3x=sin3x(2cos2x+1)

- Lại có: cosx+cos3x+cos5x=(cos5x+cosx)+cos3x

$=2.cos\frac{5x+x}{2}.cos\frac{5x-x}{2}+cos3x$

=2cos3x.cos2x+cos3x=cos3x(2cos2x+1)

$\Rightarrow A=\frac{sin3x(2cos2x+1)}{cos3x(2cos2x+1)}=\frac{sin3x}{cos3x}=tan3x$

Tóm lại, bài viết là tập hợp các công thức cộng lượng giác, công thức nhân đôi, công thức biến đổi tích thành tổng và công thức biến đổi tổng thành tích mà các em phải ghi nhớ. Việc vận dụng các công thức này vào giải các bài tập sẽ giúp các em hiểu và ghi nhớ lâu hơn.

Công thức lượng giác: Công thức cộng, Công thức nhân và Công thức Tổng và Tích - Đại số 10 chương 6 bài 3

Tags

Đánh giá & nhận xét