Cách viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC - Toán lớp 10 chuyên đề

Nội dung bài viết này sẽ hướng dẫn các em các bước cơ bản để viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (viết phương trình đường tròn (C) đi qua 3 điểm).

Cho đường tròn (C) đi qua ba điểm A, B và C. Viết phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm này ta làm như sau:

° Bước 1: Gọi phương trình đường tròn (C) có dạng: x² + y² - 2ax - 2by + c = 0 (*) (với a² + b² - c > 0).

° Bước 2: Do các điểm A, B và C thuộc đường tròn (C) nên ta thay tọa độ các điểm A, B và C  này vào phương trình (*), ta được ba phương trình bậc nhất 3 ẩn là a; b; c.

° Bước 3: Ta giải hệ phương trình ba ẩn a; b; c được các giá trị cụ thể ta thay trở lại phương trình đường tròn.

* Ví dụ 1: Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết A(2; 1) ; B(2; 5) và C(-2; 1).

> Lời giải:

- Gọi phương trình đường tròn (C) có dạng:

 x² + y² - 2ax – 2by + c = 0 (với a² + b² – c > 0)

Vì các đỉnh A ∈ (C) nên ta có: 4 + 1 - 4a - 2b + c = 0

 ⇔ 4a + 2b - c = 5 (1)

Vì các đỉnh B ∈ (C) nên ta có: 4 + 25 - 4a -10b + c = 0

 ⇔ 4a + 10b - c = 29 (2)

Vì các đỉnh C ∈ (C) nên ta có: 4 + 1 + 4a - 2b + c = 0

 ⇔ 4a - 2b + c = -5 (3)

Giải hệ lập từ (1), (2) và (3) ta được:

 a = 0; b = 3; c = 1;

Vậy phương trình đường tròn (C) là:

x² + y²  – 6y + 1 = 0

* Ví dụ 2: Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết A(1; -2); B(-3; 0); C(2; -2).

> Lời giải:

- Gọi đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là (C) dạng:

 x² + y² - 2ax - 2by + c = 0 (với a² + b² - c > 0)

Do ba điểm A(1; -2); B(-3; 0); C(2; -2) thuộc đường tròn nên ta có:

Vậy phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC là:

 x² + y² - 3x - 8y - 18 = 0

* Ví dụ 3: Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A(2; 1); B(3; 4) và C(-1; 2).

> Lời giải:

- Gọi đường tròn đi qua 3 điểm A, B và C là (C) có dạng:

 x² + y² - 2ax - 2by + c = 0 (với a² + b² - c > 0)

Do ba điểm A(2; 1); B(3; 4) và C(-1; 2) thuộc đường tròn nên ta có:

Vậy phương trình đường tròn (C) đi qua 3 điểm A, B và C là:

 x² + y² - 2x - 6y + 5 = 0