Cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng trong không gian Oxyz Toán lớp 12

Bài viết này trình bày chi tiết cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng trong không gian Oxyz Toán 12, nhằm giúp các em học sinh ôn tập, vận dụng chứng minh 3 điểm thẳng hàng dễ dàng.

1. Cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng trong không gian Oxyz

Điều kiện để 3 điểm thẳng hàng: Trong không gian, ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ  và  cùng phương. Hay A, B, C phân biệt thẳng hàng khi và chỉ khi tồn tại số thực k khác 0 sao cho: 

Lưu ý: Hai vectơ , 

 cùng phương  () khi và chỉ khi  (k ∈ R)

2. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng trong không gian Oxyz qua ví dụ

* Ví dụ 1: Trong hệ tọa độ không gian, cho 3 điểm A(1; 1; 1), B (-4; 3; 1) và C(-9; 5; 1). Chứng mình ba điểm A, B, C thẳng hàng.

* Lời giải:

Ta có: , 

Ta thấy  (thỏa mãn điều kiện  với k = 1/2)

Vậy ba điểm A, B, C thẳng hàng.

 * Ví dụ 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ  và . Tìm m, n để  cùng phương.

* Lời giải:

Vectơ  cùng phương khi và chỉ khi:

Vậy mới m = 5/6 và n = -3/2 thì hai vectơ  cùng phương.

* Ví dụ 3: Trong không gian, cho 3 điểm M = (1; 3; 1), N = (0; 1; 2), P = (0; 0; 1). Hỏi ba điểm M, N, P có thẳng hàng hay không?

* Lời giải:

Ta có: ,

Ba điểm M, N, P thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ  và  cùng phương, nghĩa là  với k ∈ R.

Giả sử tồn tại k thỏa: , khi đó:

Ta không tìm được số k nào thỏa mãn đồng thời cả ba đẳng thức trên.

Vậy ba điểm M, N, P không thẳng hàng.