Bài 7.7 trang 36 Toán 11 Kết nối tri thức Tập 2

Bài 7.7 trang 36 Toán 11 Kết nối tri thức tập 2:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và SA ⊥ (ABCD). Gọi M, N tương ứng là hình chiếu của A trên SB, SD. Chứng minh rằng:

AM ⊥ (SBC), AN ⊥ (SCD), SC ⊥ (AMN).

Giải bài 7.7 trang 36 Toán 11 Kết nối tri thức tập 2:

*Lưu ý: - Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc cùng một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó. Định nghĩa đường thẳng vuông góc mặt phẳng.

Ta có hình minh họa như sau:

• Ta có: BC ⊥ AB (vì ABCD là HCN)

BC ⊥ SA ( vì SA ⊥ (ABCD))

AB ∩ SA = {A}

⇒ BC ⊥ (SAB) mà AM ⊂ (SAB)

⇒ BC ⊥ AM

• Ta có: CD ⊥ AD (vì ABCD là HCN)

 CD ⊥ SA ( vì SA ⊥ (ABCD))

AD ∩ SA = {A}

⇒ CD ⊥ (SAD) mà AN ⊂ (SAB)

⇒ CD ⊥ AN

• Ta có: AM ⊥ SB

 AM ⊥ BC

 SB ∩ BC = {B}

⇒ AM ⊥ (SBC); mà SC ⊂ (SBC)

⇒ SC ⊥ AM

• Ta có: AN ⊥ SD

 AN ⊥ CD

 SD ∩ CD = {D}

⇒ AN ⊥ (SCD); mà SC ⊂ (SCD)

⇒ SC ⊥ AN

• Ta có: AM ⊥ SC

 AN ⊥ SC

 AM ∩ AN = {A}

⇒ SC ⊥ (AMN)