Bài 3.38 trang 73 SGK Toán 8 tập 1 Kết nối tri thức

Bài 3.38 trang 73 Toán 8 Tập 1 Kết nối tri thức:

Cho hình vuông ABCD. Lấy một điểm E trên cạnh CD. Tia phân giác của góc DAE cắt cạnh DC tại M. Đường thẳng qua M vuông góc với AE cắt BC tại N. Chứng minh DM + BN = MN.

Giải bài 3.38 trang 73 Toán 8 Tập 1 Kết nối tri thức:

Ta có hình vẽ sau:

Vì ABCD là hình vuông nên 

Đường thẳng qua M vuông góc với AE cắt BC tại N nên 

• Xét ∆ADM và ∆APM có:

 (chứng minh trên)

Cạnh AM chung

 (vì AM là tia phân giác của góc DAP).

⇒ ∆ADM = ∆APM (cạnh huyền – góc nhọn).

⇒ MD = MP và AD = AP (các cặp cạnh tương ứng).

Ta có: AB = AD và AD = AP nên AB = AP.

• Xét ∆ABN và ∆APNcó:

AN là cạnh chung;

AB = AP (chứng minh trên)

⇒ ∆ABN = ∆APN (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

⇒ BN = PN (hai cạnh tương ứng).

Khi đó MN = MP + PN = MD + BN.

Vậy DM + BN = MN.