Bài 2.15 trang 32 SGK Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức

Bài 2.15 trang 32 SGK Toán 10 Tập 1 Kết nối tri thức: 

Bác An đầu tư 1,2 tỉ đồng vào ba loại trái phiếu: trái phiếu chính phủ với lãi suất 7% một năm, trái phiếu ngân hàng với lãi suất 8% một năm và trái phiếu doanh nghiệp rủi ro cao với lãi suất 12% một năm.

Vì lí do giảm thuế, bác An muốn số tiền đầu tư lãi suất chính phủ gấp ít nhất 3 lần số tiền đầu tư trái phiếu ngân hàng. Hơn nữa, để giảm thiểu rủi ro, bác An đầu tư không quá 200 triệu đồng cho trái phiếu doanh nghiệp. Hỏi bác An nên đầu tư mỗi loại trái phiếu bao nhiêu tiền để lợi nhuận thu được sau một năm là lớn nhất?

Giải bài 2.15 trang 32 SGK Toán 10 Tập 1 Kết nối tri thức:

Gọi số tiền bác An đầu tư cho trái phiếu chính phủ, trái phiếu ngân hàng lần lượt là: x, y (triệu đồng) (0 ≤ x, y ≤ 1 200).

Khi đó bác An đầu tư cho trái phiếu doanh nghiệp là:

1 200 – x – y (triệu đồng)

Vì lí do giảm thuế, bác An muốn số tiền đầu tư trái phiếu chính phủ gấp ít nhất 3 lần số tiền đầu tư trái phiếu ngân hàng nên ta có:

x ≥ 3y hay x – 3y ≥ 0.

Để giảm thiểu rủi ro, bác An đầu tư không quá 200 triệu đồng cho trái phiếu doanh nghiệp nên ta có:

1 200 – x – y ≤ 200 hay x + y ≥ 1 000.

Từ đó ta có hệ bất phương trình: 

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác ABCD với tọa độ các điểm

A(1 000; 0), B(750; 250), C(1 200; 400), D(1 200; 0).

Lợi nhuận bác An thu được là:

F(x; y) = 7%x + 8%y + 12%(1200 – x – y)

=  144 – 0,05x – 0,04y (triệu đồng)

Tính giá trị của F(x; y) tại các điểm A, B, C, D, ta được:

F(1 000; 0) = 144 – 0,05.1 000 – 0,04.0 = 94;

F(750; 250) = 144 – 0,05.750 – 0,04.250 = 96,5;

F(1 200; 400) = 144 – 0,05.1 200 – 0,04.400 = 68;

F(1 200; 0) = 144 – 0,05.1 200 – 0,04.0 = 84;

⇒ Hàm F(x; y) lớn nhất bằng 96,5 khi x = 750, y = 250.

Vậy bác An nên đầu tư 750 triệu vào trái phiếu chính phủ, 250 triệu vào trái phiếu ngân hàng và 1 200 - 750 - 250 = 200 triệu vào trái phiếu doanh nghiệp để lợi nhuận thu được là lớn nhất.