Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên đoạn - Giải tích 12 bài 3

Bài này sẽ giúp các em biết cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn (trong miền giá trị).

• Bài tập cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

I. Định nghĩa giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D.

• Số M là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số f(x) trên D nếu f(x) ≤ M với mọi x ∈ D và tồn tại x₀ ∈ D sao cho f(x₀) = M.

Ký hiệu:

• Số m là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số f(x) trên D nếu f(x) ≥ m với mọi x ∈ D và tồn tại x₀ ∈ D sao cho f(x₀) = m.

Ký hiệu:

* Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 

trên khoảng (0;+∞)

> Lời giải:

- Trên khoảng (0;+∞), ta có: 

- Bảng biến thiên:Từ BBT ta thấy trên khoảng (0;+∞) hàm số có giá trị cực tiểu duy nhất, đó cũng là giá trị nhỏ nhất của hàm số.

Vậy  tại x = 1. Không tồn tại giá trị lớn nhất của f(x) trên khoảng (0;+∞).

II. Cách tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

• Định lý:

- Hàm số liên tục trên một đoạn thì có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.

• Quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a ; b]

+ Bước 1: Tìm các điểm x_i ∈ (a ; b)(i = 1, 2, . . . , n) mà tại đó f'(x_i) = 0 hoặc f'(x_i) không xác định.

+ Bước 2: Tính f(a), f(b), f(x_i) (i = 1, 2, . . . , n) .

+ Bước 3: Tìm 

> Chú ý: Cũng như ở mục I. Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y=f(x) xác định trên tập hợp D, ta có thể khảo sát sự biến thiên của hàm số trên D, rồi căn cứ vào bảng biến thiên của hàm số mà kết luận về GTLN và GTNN của hàm số.

- Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (các em lưu ý sự khác biệt một khoảng và một đoạn).

* Ví dụ 1: Cho hàm số: 

có đồ thị như Hình 10 (hình dưới). Hãy chỉ ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-2; 3] và nêu cách tính.

> Lời giải:

- Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-2,3] là điểm thấp nhất của đồ thị trên đoạn đó. Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = -2.

Thay x = -2 vào hàm số y đã cho ta có giá trị nhỏ nhất là -2.

- Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-2,3] là điểm cao nhất của đồ thị trên đoạn đó. Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x = 3.

Thay x = 3 vào hàm số y đã cho ta có giá trị lớn nhất là 3.

* Ví dụ 2: Lập bảng biến thiên hàm số 

Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của f(x) trên tập xác định.