Bài 6 trang 39 SGK Toán 10 tập 1 Chân trời sáng tạo

Bài 6 trang 39 SGK Toán 10 tập 1 Chân trời sáng tạo: Một xưởng sản xuất có hai máy đặc chủng A, B sản xuất hai loại sản phẩm X, Y. Để sản xuất một tấn sản phẩm X cần dùng máy A trong 6 giờ và dùng máy B trong 2 giờ. Để sản xuất một tấn sản phẩm Y cần dùng máy A trong 2 giờ và dùng máy B trong 2 giờ. Cho biết mỗi máy không thể sản xuất đồng thời hai loại sản phẩm.

Máy A làm việc không quá 12 giờ một ngày; máy B làm việc không quá 8 giờ một ngày. Một tấn sản phẩm X lãi 10 triệu đồng và một tấn sản phẩm Y lãi 8 triệu đồng. Hãy lập kế hoạch sản xuất mỗi ngày sao cho tổng số tiền lãi cao nhất.

Giải bài 6 trang 39 SGK Toán 10 tập 1 Chân trời sáng tạo:

Gọi x (tấn) là khối lượng sản phẩm X mà xưởng sản xuất ra trong một ngày; y(tấn) là khối lượng sản phẩm Y mà xưởng sản xuất ra trong một ngày.

Hiển nhiên x ≥ 0 và y ≥ 0.

Để sản xuất x tấn sản phẩm X cần dùng máy A trong 6x (giờ) ; để sản xuất y tấn sản phẩm Y cần dùng máy A trong 2y (giờ).

Tổng số giờ dùng máy A trong một ngày là 6x + 2y (giờ).

Do máy A làm việc không quá 12 giờ một ngày nên ta có bất phương trình :

6x + 2y ≤ 12, hay 3x + y ≤ 6.

Để sản xuất x tấn sản phẩm X cần dùng máy B trong 2x (giờ) ; để sản xuất y tấn sản phẩm Y cần dùng máy B trong 2y (giờ).

Tổng số giờ dùng máy B trong một ngày là 2x + 2y (giờ).

Do máy B làm việc không quá 8 giờ một ngày nên ta có bất phương trình: 2x + 2y ≤ 8, hay x + y  ≤ 4.

Vậy ta có hệ bất phương trình:

Miền nghiệm của hệ là miền tứ giác OABC (bao gồm cả các cạnh) với các đỉnh O(0; 0) ; A(0; 4); B(1; 3) ; C (2; 0)  .

Gọi F (triệu đồng) là số tiền lãi thu được.

Với x tấn sản phẩm X thì số tiền lãi là 10x (triệu đồng); với y tấn sản phẩm  Y thì số tiền lãi là 8y (triệu đồng). Tổng số tiền lãi là 10x + 8y (triệu đồng).

Do đó F =10x + 8y

Tính giá trị của F tại các đỉnh của tứ giác OABC :

Tại O(0; 0): F = 10.0 + 8.0 = 0;

Tại A(0; 4): F = 10.0 + 8.4 = 32.

Tại B(1; 3): F = 10.1 + 8.3 = 34;

Tại C(2; 0): F= 10.2 + 8.0 = 20;

F đạt giá trị lớn nhất là 34 tại B(1; 3) 

Vậy để tổng số tiền lãi cao nhất thì xưởng phải sản xuất 1 tấn sản phẩm X và 3 tấn sản phẩm Y.