Bài 7.28 trang 63 Toán 11 Kết nối tri thức Tập 2

Bài 7.28 trang 63 Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho khối chóp đều S.ABC, đáy có cạnh bằng a, cạnh bên bằng b. Tính thể tích của khối chóp đó. Từ đó suy ra thể tích của khối tứ diện đều có cạnh bằng a.

Giải bài 7.28 trang 63 Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Ta có hình vẽ sau:

Gọi G là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC). Vì S.ABC là khối chóp đều nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Có SG ⊥ (ABC).

Giả sử AG ∩ BC tại D, khi đó D là trung điểm của BC, AD ⊥ BC.

Xét tam giác ABC đều cạnh a, AD là đường cao nên

Vì 

Xét tam giác SGA vuông tại G, có:

Ta có:

Khi đó thể tích khối tứ diện đều có cạnh bằng a là: