Bài 7.24 trang 59 Toán 11 Kết nối tri thức Tập 2

Bài 7.24 trang 59 Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho tứ diện ABCD có các cạnh đều bằng a. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh rằng:

a) MN là đường vuông góc chung của AB và CD.

b) Các cặp cạnh đối diện trong tứ diện ABCD đều vuông góc với nhau.

Giải bài 7.24 trang 59 Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Ta có hình vẽ sau:

a) Xét ΔADB có AD = BD = a nên tam giác ADB cân tại D.

Vì M là trung điểm của AB nên DM là trung tuyến.

Vì tam giác ADB cân tại D, DM là trung tuyến nên DM đồng thời là đường cao hay DM ⊥ AB.

Xét tam giác ABC có AC = BC = a nên tam giác ABC cân tại C mà CM là trung tuyến nên CM là đường cao hay CM ⊥ AB.

Vì DM ⊥ AB và CM ⊥ AB nên AB ⊥ (DCM), suy ra AB ⊥ MN.

Xét tam giác ADC có AD = AC = a nên tam giác ACD cân tại A mà AN là trung tuyến nên AN đồng thời là đường cao hay AN ⊥ CD.

Xét tam giác BCD có BD = BC = a nên tam giác BCD cân tại B mà BN là trung tuyến nên BN đồng thời là đường cao hay BN ⊥ CD.

Vì AN ⊥ CD và BN ⊥ CD nên CD ⊥ (ABN),

⇒ CD ⊥  MN.

Vì AB ⊥ MN và CD ⊥ MN nên MN là đường vuông góc chung của AB và CD.

b) Vì AB ⊥ (DCM) nên AB ⊥ CD..

Gọi E là trung điểm của BC.

Xét tam giác ABC có AB = AC = a nên tam giác ABC cân tại A mà AE là trung tuyến nên AE đồng thời là đường cao hay AE ⊥ BC.

Xét tam giác BDC có BD = CD = a nên tam giác BCD cân tại D mà DE là trung tuyến nên DE đồng thời là đường cao hay DE ⊥ BC.

Có AE ⊥ BC và DE ⊥ BC nên BC ⊥ (ADE),

⇒ BC ⊥ AD.

Gọi F là trung điểm của BD.

Xét tam giác ADB có AB = AD = a nên tam giác ADB cân tại A mà AF là trung tuyến nên AF đồng thời là đường cao hay AF ⊥ BD.

Xét tam giác BCD có BC = CD = a nên tam giác BCD cân tại C mà CF là trung tuyến nên CF đồng thời là đường cao hay CF ⊥ BD.

Vì AF ⊥ BD và CF ⊥ BD nên BD ⊥ (ACF),

⇒ BD ⊥  AC.