Bài 3.45 trang 75 SGK Toán 8 tập 1 Kết nối tri thức

Bài 3.45 trang 75 Toán 8 Kết nối tri thức Tập 1:

Cho tam giác ABC cân tại A; M là một điểm thuộc đường thẳng BC, B ở giữa M và C. Gọi E, K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M và từ B xuống AC, còn N, D lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ B xuống MEvà từ M xuống AB (H.3.60).

Chứng minh rằng:

a) Tứ giác BKEN là hình chữ nhật.

b) BK bằng hiệu khoảng cách từ M đến AC và đến AB (dù M thay đổi trên đường thẳng BC miễn là B nằm giữa M và C) tức là BK = ME – MD.

Giải bài 3.45 trang 75 Toán 8 Kết nối tri thức Tập 1:

a) Tứ giác BKEN là hình chữ nhật.

Vì ME ⊥ AC; BK ⊥ AC; BN ⊥ ME nên

Tứ giác BKEN có    

⇒ Tứ giác BKEN là hình chữ nhật.

b) BK bằng hiệu khoảng cách từ M đến AC và đến AB

Khoảng cách từ M đến AC và AB lần lượt là ME và MD.

Tứ giác BKEN là hình chữ nhật nên NE = BK (*)

Ta có BN ⊥ ME; CE ⊥ ME nên BN // EC

 (hai góc đồng vị)

Mà  (vì ∆ABC cân tại A)

 (hai góc đối đỉnh)

• Xét ∆MBN và ∆MBD có:

Cạnh BM chung

 (chứng minh trên)

⇒ ∆MBN = ∆MBD (cạnh huyền – góc nhọn)

⇒ MN = MD (hai cạnh tương ứng) (**)

Từ (*) và (**) ta có: ME = MN + NE = MD + BK.

⇒ BK = NE = ME – BD.