Bài 3.42 trang 74 SGK Toán 8 tập 1 Kết nối tri thức

Bài 3.42 trang 74 Toán 8 Kết nối tri thức Tập 1:

Chứng minh rằng nếu tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và một cặp cạnh đối bằng nhau thì tứ giác đó là một hình thang cân.

Giải bài 3.42 trang 74 Toán 8 Kết nối tri thức Tập 1:

Ta có hình vẽ sau:

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

• Xét ∆ABC và ∆BAD có:

BC = AD (giả thiết)

AC = BD (giả thiết)

Cạnh AB chung

⇒ ∆ABC = ∆BAD (c-c-c)

⇒  (hai góc tương ứng).

• Xét ∆ACD và ∆BDC có:

AD = BC (giả thiết)

AC = BD (giả thiết)

Cạnh CD chung

⇒ ∆ADC = ∆BCD (c-c-c)

⇒  (hai góc tương ứng).

• Xét ∆OAD và ∆OBC có:

 (chứng minh trên)

AD = BC (giả thiết)

 (chứng minh trên)

⇒ ∆OAD = ∆OBC (g-c-g).

⇒ OA = OB; OC = OD (các cặp cạnh tương ứng).

Khi đó, các ΔOAB, ΔOCD là tam giác cân tại O.

⇒  

• Xét ∆OAB và ∆OCD cân tại O có:

 (hai góc đối đỉnh)

 và 

 mà hai góc này ở vị trí so le trong.

⇒ AB // CD.

Tứ giác ABCD có AB // CD nên ABCD là hình thang.

Hình thang ABCD có hai đường chéo AC = BD.

⇒ Tứ giác ABCD là hình thang cân.

Vậy nếu tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và một cặp cạnh đối bằng nhau thì tứ giác đó là một hình thang cân.