Cực trị của hàm số là gì? Cách tìm cực trị (cực đại, cực tiểu) của hàm số - Giải tích 12 bài 2

Bài này các em sẽ biết cực trị của hàm số là gì? hai cách (quy tắc) tìm cực trị của hàm số được thực hiện như thế nào?

• Bài tập vận dụng quy tắc tìm cực trị của hàm số

I. Khái niệm cực đại cực tiểu của hàm số

* Định nghĩa cực đại, cực tiểu

• Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a ; b) và điểm x₀ ∈ (a ; b).

- Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x₀), ∀x ∈ (x₀ - h ; x₀ + h), x  x₀ thì ta nói hàm số f đạt cực đại tại x₀ .

- Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x₀), ∀x ∈ (x₀ - h ; x₀ + h), x  x₀ thì ta nói hàm số f đạt cực tiểu tại x₀.

> Chú ý:

- Nếu hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x₀ thì x₀ được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f(x₀) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, ký hiệu f_CĐ (f_CT), còn điểm M(x₀; f(x₀)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị.

- Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

- Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b) và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x₀ thì f'(x₀) = 0.

II. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị (cực đại, cực tiểu)

• Định lý 1: Cho hàm Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x₀ - h ; x₀ + h) (h > 0) và có đạo hàm trên K hoặc trên K\{x₀}.

- Nếu  thì x₀ là điểm cực đại của hàm số.

- Nếu  thì x₀ là điểm cực tiểu của hàm số.

Có thể hiểu đơn giản, đi từ trái qua phải:

- Nếu f'(x) đổi dấu từ - sang + khi đi qua x₀ thì x₀ là điểm cực tiểu.

- Nếu f'(x) đổi dấu từ + sang - khi đi qua x₀ thì x₀ là điểm cực đại.

• Định lý 2: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên khoảng K = (x₀ - h ; x₀ + h) (h > 0).

- Nếu f'(x₀) = 0, f''(x₀) > 0 thì x₀ là điểm cực tiểu của hàm số f.

- Nếu f'(x₀) = 0, f''(x₀) < 0 thì x₀ là điểm cực đại của hàm số f.

III. Cách tìm cực trị của hàm số, quy tắc tìm cực trị của hàm số

• Quy tắc 1 (cách 1) để tìm cực trị của hàm số

- Tìm tập xác định.

- Tính f'(x). Tìm các điểm tại đó f'(x) bằng 0 hoặc f'(x) không xác định.

- Lập bảng biến thiên.

- Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

• Quy tắc 2 (cách 2) để tìm cực trị của hàm số

- Tìm tập xác định.

- Tính f'(x). Tìm các nghiệm x_i của phương trình f'(x) = 0.

- Tính f''(x) và f''(x_i) suy ra tính chất cực trị của các điểm x_i.

> Chú ý: Nếu f''(x_i) = 0 thì ta phải dùng quy tắc 1 để xét cực trị tại x_i.

* Ví dụ 1: Áp dụng quy tắc 1 (cách 1) tìm cực trị của hàm số f(x) = x(x² - 3).

> Lời giải:

1. TXĐ: D = R

2. f’(x) = 3x² – 3. Cho f’(x) = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = -1.

3. Ta có bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại x = -1 và giá trị cực đại là 2

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và giá trị cực tiểu là -2.

* Ví dụ 2: Áp dụng quy tắc 2 (cách 2) tìm cực trị của hàm số: 

> Lời giải:

1. TXĐ: D = R

2. Ta tính f'(x) = x³ - 4x = x(x² - 4);

Cho f'(x) = 0 ⇔ x₁ = 0; x₂ = -2; x₃ = 2.

- Tính f''(x) = 3x² - 4. ta có:

f''(x₁) = f''(0) = 2.0² - 4 = -4 < 0 ⇒ x₁ = 0 là điểm cực đại

f''(x₂) = f''(-2) = 3.(-2)² - 4 = 8 ⇒ x₂ = -2 là điểm cực tiểu

f''(x₃) = f''(2) = 3.(2)² - 4 =8 ⇒ x₃ = 2 là điểm cực tiểu

- Kết luận: f(x) đạt cực đại tại x₁ = 0 và f_CĐ = f(0) = 6;

 f(x) đạt cực tiểu tại x₂ = -2, x₃ = 2 và f_CT = f(±2) = 2.