Bài 9.38 trang 84 Toán 7 Kết nối tri thức Tập 2

Bài 9.38 Trang 84 Toán 7 Kết nối tri thức Tập 2: 

Gọi AI và AM lần lượt là đường cao và đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a) AI < (AB + AC);

b) AM < (AB + AC).

Giải bài 9.38 Trang 84 Toán 7 Kết nối tri thức Tập 2: 

Ta có hình vẽ sau:

a) Xét ∆AIB vuông tại I nên AB là cạnh huyền.

⇒ AB > AI (1).

Xét ∆AIC vuông tại I nên AC là cạnh huyền.

⇒ AC > AI (2).

Từ (1) và (2) ta có 2AI < AB + AC hay AI < (AB + AC).

b) Từ B kẻ BN song song với AC sao cho BN = AC.

Vì BN // AC nên  (2 góc so le trong).

Vì AM là đường trung tuyến của ∆ABC nên M là trung điểm của BC.

M là trung điểm của BC nên BM = CM.

Xét ∆NBM và ∆ACM có:

BM = CM (chứng minh trên).

 (chứng minh trên).

BN = CA (giả thiết).

⇒ ∆NBM = ∆ACM (c - g - c).

⇒ AM = MN (2 cạnh tương ứng)

và  (2 góc tương ứng).

Vì  nên 

hay 

⇒ A, M, N thẳng hàng.

Lại có AM = MN nên M là trung điểm của AN

⇒ AN = 2AM.

Xét ∆ABN có AB + BN > AN

hay AB + BN > 2AM.

Mà BN = AC nên AB + AC > 2AM.

⇒ AM < (AB + AC).