Bài 7.19 trang 53 Toán 11 Kết nối tri thức Tập 2

Bài 7.19 trang 53 Toán 11 Kết nối tri thức Tập 2:

Cho hình chóp đều S.ABC, đáy có cạnh bằng a, cạnh bên bằng b.

a) Tính sin của góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy.

b) Tính tang của góc giữa mặt phẳng chứa mặt đáy và mặt phẳng chứa mặt bên.

Giải bài 7.19 trang 53 Toán 11 Kết nối tri thức Tập 2:

Ta có hình vẽ sau:

a) Gọi G là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC).

Vì S.ABC đều nên G là tâm của tam giác ABC hay G là trọng tâm đồng thời G cũng là trực tâm của tam giác ABC.

Gọi a là góc tạo bởi cạnh bên SA và mặt phẳng đáy (ABC).

Vì SG ⊥ (ABC) nên GA là hình chiếu của SA trên mặt phẳng (ABC).

Khi đó góc giữa cạnh bên SA và mặt phẳng đáy (ABC) bằng góc giữa hai đường thẳng SA và AG.

Mà (SA, AG) = 

Kẻ AG cắt BC tại D, khi đó D là trung điểm của BC, AD ⊥ BC.

Xét tam giác ABC đều cạnh a, AD là đường cao

Nên 

Suy ra 

Xét tam giác SGA vuông tại G, có:

Vậy sin của góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy bằng: 

b) Gọi β là góc tạo bởi mặt phẳng (SBC) và (ABC).

Vì SG ⊥ (ABC) nên SG ⊥ BC mà AD ⊥ BC nên BC ⊥ (SAD),

⇒ BC ⊥ SD.

Khi đó góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng góc giữa hai đường thẳng AD và SD, mà (AD, SD) = 

Vì 

Xét tam giác SGD vuông tại G, có:

Vậy tang của góc giữa mặt phẳng chứa mặt đáy và mặt phẳng chứa mặt bên bằng: