Bài 7 trang 76 Toán 8 Chân trời sáng tạo Tập 2

Bài 7 trang 76 Toán 8 Tập 2 Chân trời sáng tạo: 

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Kẻ HM vuông góc với AB tại M.

a) Chứng minh rằng ΔAMH ᔕ ΔAHB.

b) Kẻ HN vuông góc với AC tại N. Chứng minh rằng AM.AB = AN.AC.

c) Chứng minh rằng ΔANM ᔕ ΔABC.

d) Cho biết AB = 9 cm, AC = 12 cm. Tính diện tích tam giác AMH.

Giải bài 7 trang 76 Toán 8 Tập 2 Chân trời sáng tạo: 

Ta có hình vẽ sau:

a) Xét hai tam giác vuông AMH và AHB có:  chung

⇒ ΔAMH ᔕ ΔAHB (g.g)

b) ΔAMH ᔕ ΔAHB nên 

⇔ AM.AB = AH² (1)

Xét hai tam giác vuông ANH và AHC có:  chung

⇒ ΔANH ᔕ ΔAHC (g.g) nên

 hay AN.AC = AH² (2)

Từ (1) và (2) ⇒ AM.AB = AN.AC (đpcm).

c) Ta có AM.AB = AN.AC,

Do đó  

Xét hai tam giác vuông AMN và ABC có:

 (chứng minh trên)

⇒ ΔANM ᔕ ΔABC (c.g.c)

d) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC, ta có: 

BC² = AB² + AC² = 9² + 12² = 225.

Suy ra BC = 15 cm.

Xét hai tam giác vuông ABC và HBA có  chung

⇒ ΔABC ᔕ ΔHBA (g.g).

Suy ra  (các cặp cạnh tương ứng).

Khi đó AH.BC = AB.AC hay AH.15 = 9.12.

⇒ AH = 7,2 cm.

• Từ (1): AM.AB = AH² nên

• Từ (2): AN.AC = AH² nên

Diện tích tam giác AMN là: 

Vậy diện tích tam giác AMN là 12,4416 cm².