Bài 4 trang 87 SGK Toán 8 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Bài 4 trang 87 SGK Toán 8 Tập 1 Chân trời sáng tạo: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi D là trung điểm của BC. Vẽ DE // AB, vẽ DF // AC (E ∈ AC, F ∈ AB). Chứng minh rằng:

a) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật.

b) Tứ giác BFED là hình bình hành.

Giải bài 4 trang 87 SGK Toán 8 Tập 1 Chân trời sáng tạo:

Ta có hình vẽ minh họa như sau:

a) Tam giác ABC vuông tại A nên  hay AB ⊥ AC.

Vì DE // AB và AB ⊥ AC nên DE ⊥ AC hay 

Vì DF // AC và AB ⊥ AC nên DF ⊥ AB hay 

Vậy tứ giác AEDF có 3 góc vuông là ;   và  nên là hình chữ nhật.

b) Vì AEDF là hình chữ nhật nên AF = ED và AD = EF (tính chất hình chữ nhật).

• Xét ΔABC có AD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên bằng nửa cạnh huyền BC, do đó:

Từ đó suy ra:

• Xét ΔBDF và ΔEFD có:

BD = EF (chứng minh trên);

DF là cạnh chung.

⇒ ΔBDF = ΔEFD (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

⇒ FB = DE (hai cạnh tương ứng).

• Xét tứ giác BFED có FB = DE và FB // DE (do AB // DE)

⇒ Tứ giác BFED là hình bình hành.